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कक्षा 10 गणित अध्याय 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर
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NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का ग्यारहवाँ अध्याय "वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल" है, पेज 171 से 177 तक। अध्याय छोटा है: इसमें बस दो आकार हैं, त्रिज्यखंड और वृत्तखंड, और तीन सूत्र। पर बोर्ड में इन्हीं पर रोज़मर्रा की चीज़ों वाले प्रश्न बनते हैं। यह गाइड दो काम करती है:
- अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
- अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।
पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। पिछला अध्याय: कक्षा 10 गणित अध्याय 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 10 Areas Related to Circles, questions with answers।
यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)। प्रश्न हमारे अपने हैं; शिक्षक समीक्षा बाकी है (teacher review pending)।
परीक्षा में यह अध्याय
CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। इकाई VI, "Mensuration" (क्षेत्रमिति), के 10 अंक हैं; इसमें यह अध्याय और "पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन", दोनों आते हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)। CBSE अध्याय-वार अंक नहीं देता।
पाठ्यक्रम इस अध्याय के लिए एक सीमा साफ़ लिखता है (पेज 7): वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालने वाले प्रश्नों में केंद्रीय कोण केवल 60°, 90° और 120° होंगे। इसलिए नीचे भाग 3 की छोटी सारणी पक्की कर लीजिए।
1. त्रिज्यखंड और वृत्तखंड क्या हैं
- त्रिज्यखंड (sector): वृत्त का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा हो, जैसे गोल रोटी का केंद्र से कटा तिकोना टुकड़ा। दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण "त्रिज्यखंड का कोण" कहलाता है (पेज 171)।
- वृत्तखंड (segment): वृत्त का वह भाग जो एक जीवा और उसके चाप के बीच हो, जैसे रोटी को किनारे के पास से एक सीधी कट से काटने पर गिरा टुकड़ा (पेज 171)।
- लघु और दीर्घ: छोटा भाग लघु, बड़ा भाग दीर्घ कहलाता है। अगर लघु त्रिज्यखंड का कोण θ है, तो दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण 360° − θ होता है (पेज 171)।
- किताब की टिप्पणी: जब तक अलग से न कहा जाए, "त्रिज्यखंड" और "वृत्तखंड" का मतलब लघु वाला ही है (पेज 172)।
2. दो सूत्र, ऐकिक विधि से
पूरा वृत्त केंद्र पर 360° का कोण बनाता है। किताब ऐकिक विधि लगाती है: 360° का क्षेत्रफल πr² है, तो 1° का πr²/360, और θ° का उसका θ गुना (पेज 172-173)। त्रिज्या r और कोण θ (डिग्री में) के लिए:
| क्या निकालना है | सूत्र | पेज |
|---|---|---|
| त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल | (θ/360) × πr² | 172 |
| चाप की लंबाई | (θ/360) × 2πr | 172-173 |
| दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल | πr² − लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल | 173 |
हमारा उदाहरण। r = 7 cm और θ = 90° (चौथाई वृत्त), π = 22/7: क्षेत्रफल = (1/4) × (22/7) × 49 = 38.5 cm²; चाप = (1/4) × 2 × (22/7) × 7 = 11 cm।
एक काम की बात: दोनों सूत्रों को मिलाने पर त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ½ × चाप की लंबाई × r भी निकलता है। जब प्रश्न में चाप की लंबाई दी हो, तो इससे जाँच जल्दी हो जाती है (प्रश्न 4 देखिए)।
3. वृत्तखंड का क्षेत्रफल
वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − दोनों त्रिज्याओं और जीवा से बना त्रिभुज (पेज 173)। दीर्घ वृत्तखंड = πr² − लघु वृत्तखंड (पेज 173)।
बोर्ड के तीन कोणों पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे निकलता है:
| केंद्रीय कोण | त्रिभुज कैसा है | त्रिभुज का क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| 60° | समबाहु (तीनों भुजाएँ r) | (√3/4) × r² |
| 90° | समकोण, दोनों भुजाएँ r | ½ × r² |
| 120° | समद्विबाहु, केंद्र से जीवा पर लंब r/2 | (√3/4) × r² |
ध्यान दीजिए, 60° और 120° पर त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर निकलता है। 120° वाले त्रिभुज में किताब केंद्र से जीवा पर लंब डालती है, जो जीवा को आधा करता है; फिर cos 60° और sin 60° से लंब और आधी जीवा निकालती है (उदाहरण 2, पेज 174-175)। हमारे प्रश्न 7 में यही तरीका नई संख्याओं से है।
हमारा उदाहरण। r = 7 cm, θ = 90°: त्रिज्यखंड 38.5 cm², त्रिभुज ½ × 49 = 24.5 cm², इसलिए वृत्तखंड = 14 cm²।
4. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं
- व्यास को त्रिज्या मान लेना। प्रश्न में व्यास दिया हो, तो पहले आधा कीजिए; सूत्रों में r ही जाता है।
- त्रिभुज घटाना भूल जाना। वृत्तखंड पूछा हो और आप सिर्फ़ त्रिज्यखंड लिख दें, तो उत्तर बड़ा आता है। वृत्तखंड हमेशा त्रिज्यखंड से छोटा होता है।
- π का मान बदल देना। प्रश्न जो मान कहे (22/7 या 3.14), पूरे हल में वही रखिए। √3 का मान भी प्रश्न से ही लीजिए, और उसे अंत में रखिए।
5. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ
पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के उदाहरण या अभ्यास-प्रश्न नहीं। जब तक अलग से न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।
प्रश्न 1. माँ ने एक गोल पराठे से केंद्र तक दो सीधी कट लगाकर 75° का एक टुकड़ा निकाला। (a) यह टुकड़ा किस आकार का है? (b) थाली में बचे भाग का कोण कितना है और उसे क्या कहेंगे? (c) दूसरे पराठे से एक ही सीधी कट से किनारे का पतला टुकड़ा अलग किया, कट केंद्र से नहीं गुज़री। वह पतला टुकड़ा क्या है?
उत्तर: (a) लघु त्रिज्यखंड; (b) 285°, दीर्घ त्रिज्यखंड; (c) लघु वृत्तखंड। (a) टुकड़ा दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा है, और 75° आधे वृत्त से कम है। (b) 360° − 75° = 285°। (c) पतला टुकड़ा एक जीवा (सीधी कट) और चाप के बीच है, और छोटा भाग है। (परिभाषाएँ, पेज 171।)
प्रश्न 2. 14 cm त्रिज्या वाले एक गोल केक को केंद्र से 8 बराबर टुकड़ों में काटा गया। (a) हर टुकड़े का कोण कितना है? (b) एक टुकड़े की ऊपरी सतह का क्षेत्रफल कितना है? (c) एक टुकड़े के गोल किनारे पर क्रीम की पट्टी लगानी है; पट्टी कितनी लंबी चाहिए?
उत्तर: (a) 45°; (b) 77 cm²; (c) 11 cm। (a) 360° ÷ 8 = 45°। (b) (45/360) × (22/7) × 14 × 14 = (1/8) × 616 = 77 cm²। जाँच: 8 × 77 = 616 cm², जो पूरे केक का πr² है। (c) चाप = (45/360) × 2 × (22/7) × 14 = (1/8) × 88 = 11 cm। (सूत्र, पेज 172-173।)
प्रश्न 3. एक लोहे का गेट 2.1 m चौड़ा है और एक खंभे पर टिका है। खुलते समय वह 90° घूमता है। (a) गेट का बाहरी किनारा ज़मीन पर कितनी जगह साफ़ करता है (क्षेत्रफल)? (b) गेट का बाहरी सिरा कितनी दूरी तय करता है?
उत्तर: (a) 3.465 m²; (b) 3.3 m। गेट त्रिज्या की तरह घूमता है, r = 2.1 m, θ = 90°। (a) (90/360) × (22/7) × 2.1 × 2.1 = (1/4) × 13.86 = 3.465 m²। (b) (90/360) × 2 × (22/7) × 2.1 = (1/4) × 13.2 = 3.3 m। (सूत्र, पेज 172-173।)
प्रश्न 4. 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक चाप की लंबाई 31.4 cm है (π = 3.14 लीजिए)। (a) यह चाप केंद्र पर कितना कोण बनाता है? (b) संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (c) अपना उत्तर ½ × चाप × r से जाँचिए।
उत्तर: (a) 120°; (b) 235.5 cm²; (c) मेल खाता है। (a) 31.4 = (θ/360) × 2 × 3.14 × 15 = (θ/360) × 94.2, इसलिए θ = 31.4 × 360 ÷ 94.2 = 120°। (b) (120/360) × 3.14 × 15 × 15 = (1/3) × 706.5 = 235.5 cm²। (c) ½ × 31.4 × 15 = 235.5 cm², वही उत्तर। (सूत्र, पेज 172-173।)
प्रश्न 5. 28 m त्रिज्या वाले एक गोल पार्क में एक सीधा रास्ता (जीवा) बना है, जो केंद्र पर 90° का कोण बनाता है। रास्ते और किनारे के बीच के छोटे भाग में घास लगी है। (a) घास वाले भाग का क्षेत्रफल कितना है? (b) घास वाले भाग के गोल किनारे पर बाड़ लगानी है; बाड़ कितनी लंबी होगी? (c) पार्क के बड़े भाग का क्षेत्रफल कितना है?
उत्तर: (a) 224 m²; (b) 44 m; (c) 2240 m²। (a) त्रिज्यखंड = (90/360) × (22/7) × 28 × 28 = 616 m²; त्रिभुज = ½ × 28 × 28 = 392 m²; वृत्तखंड = 616 − 392 = 224 m²। (b) चाप = (90/360) × 2 × (22/7) × 28 = 44 m। (c) पूरा पार्क = (22/7) × 28 × 28 = 2464 m², इसलिए बड़ा भाग = 2464 − 224 = 2240 m²। (वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड, पेज 173।)
प्रश्न 6. 12 cm त्रिज्या वाले एक गोल पिज़्ज़ा से एक सीधी कट लगाई गई, जिसकी जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। (a) कट की लंबाई कितनी है? (b) कटे हुए छोटे टुकड़े का क्षेत्रफल कितना है? (π = 3.14 और √3 = 1.73 लीजिए।)
उत्तर: (a) 12 cm; (b) 13.08 cm²। (a) दोनों त्रिज्याएँ 12 cm हैं और उनके बीच 60° है, इसलिए त्रिभुज के बाकी दोनों कोण भी 60° हैं: त्रिभुज समबाहु है और जीवा = 12 cm। (b) त्रिज्यखंड = (60/360) × 3.14 × 144 = 75.36 cm²; त्रिभुज = (√3/4) × 144 = 1.73 × 36 = 62.28 cm²; टुकड़ा = 75.36 − 62.28 = 13.08 cm²। (वृत्तखंड, पेज 173।)
प्रश्न 7. 6 cm त्रिज्या वाली एक गोल ताँबे की प्लेट से एक सीधा टुकड़ा काटा गया। कट वाली जीवा AB केंद्र O पर 120° का कोण बनाती है। केंद्र से AB पर लंब OM डालकर (a) OM, (b) जीवा AB की लंबाई, (c) त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल, और (d) कटे टुकड़े (लघु वृत्तखंड) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 लीजिए।)
उत्तर: (a) 3 cm; (b) 6√3 cm ≈ 10.38 cm; (c) 9√3 cm² ≈ 15.57 cm²; (d) लगभग 22.11 cm²। OA = OB, इसलिए OM कोण AOB को आधा करता है: ∠AOM = 60°। (a) OM = 6 × cos 60° = 6 × ½ = 3 cm। (b) AM = 6 × sin 60° = 3√3 cm, और AB = 2 × AM = 6√3 cm ≈ 6 × 1.73 = 10.38 cm। (c) ½ × AB × OM = ½ × 6√3 × 3 = 9√3 cm² ≈ 15.57 cm²। (d) त्रिज्यखंड = (120/360) × 3.14 × 36 = 37.68 cm², इसलिए टुकड़ा = 37.68 − 15.57 = 22.11 cm²। (लंब वाला तरीका, पेज 174-175।)
प्रश्न 8. 14 cm भुजा वाली एक वर्गाकार टाइल के हर कोने पर 7 cm त्रिज्या का एक चौथाई वृत्त (केंद्र टाइल का कोना) नीले रंग से रंगा गया है। (a) नीला भाग कुल कितना है? (b) टाइल का कितना भाग बिना रंग का बचा? (c) बिना रंग वाले भाग की पूरी सीमा कितनी लंबी है?
उत्तर: (a) 154 cm²; (b) 42 cm²; (c) 44 cm। (a) चार चौथाई वृत्त मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं: (22/7) × 7 × 7 = 154 cm²। (b) 14 × 14 − 154 = 196 − 154 = 42 cm²। (c) 7 + 7 = 14, इसलिए पास-पास के दो चौथाई वृत्त भुजा के मध्य-बिंदु पर मिलते हैं; बीच वाले भाग की सीमा में केवल चार चाप हैं। चार चाप = एक पूरी परिधि = 2 × (22/7) × 7 = 44 cm। (त्रिज्यखंड और चाप, पेज 172-173।)
6. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें
- आकार पूछिए। AI से हल लें, तो देखें कि उसने त्रिज्यखंड और वृत्तखंड में फ़र्क रखा है या नहीं; वृत्तखंड में त्रिभुज घटाना ज़रूरी है।
- कोण की सीमा देखिए। बोर्ड के वृत्तखंड वाले प्रश्नों में कोण केवल 60°, 90° या 120° होंगे। AI कोई और कोण मानकर हल करे, तो प्रश्न दोबारा पढ़िए।
- उत्तर का अंदाज़ा लगाइए। 90° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का ठीक चौथाई होता है, 120° का तिहाई। AI का उत्तर इससे बहुत अलग हो, तो वह गलत है।
अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के प्रश्न: Class 10 Areas Related to Circles, questions with answers। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।
कक्षा 10 गणित का अभ्यास
- इसी किताब के दूसरे अध्याय, हिंदी में: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ, अध्याय 2 बहुपद, अध्याय 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म, अध्याय 4 द्विघात समीकरण, अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ, अध्याय 6 त्रिभुज, अध्याय 7 निर्देशांक ज्यामिति, अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय और अध्याय 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग।
- ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 के वृत्त-क्षेत्रफल वाले प्रश्न।
- छापने लायक, उत्तर के साथ: Areas Related to Circles की वर्कशीट।
- सारे सूत्र एक जगह: Class 10 Maths formula sheet 2026-27।
- बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।
CMDLearn कहाँ फिट होता है
CMDLearn कक्षा 1 से 10 के लिए हिंदी, मराठी और अंग्रेज़ी में एक AI ट्यूटर बना रहा है, जो एक कदम समझाता है और बच्चे का काम जाँचता है, पर लिखना बच्चे पर छोड़ता है। यह अभी तैयार हो रहा है और अभी कोई बच्चा इसका इस्तेमाल नहीं करता। जब आज़माने को कुछ हो, तब ख़बर पाने के लिए वेटलिस्ट से जुड़ें।
स्रोत
सभी 5 नवंबर 2026 को जाँचे गए।
- NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम), अध्याय 11 "वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल", पेज 171 से 177: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh111.pdf
- NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 11 "Areas Related to Circles": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh111.pdf
- CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure (पेज 3) और Unit VI Mensuration, Areas Related to Circles (पेज 7): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf
अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।
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