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कक्षा 10 गणित अध्याय 6 त्रिभुज: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 4 नवंबर 2026

NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का छठा अध्याय "त्रिभुज" है, पेज 84 से 110 तक। इसका असली विषय त्रिभुजों की समरूपता है। यह गाइड दो काम करती है:

अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 10 Triangles, practice questions with answers।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। यह अध्याय इकाई IV, "Geometry" (ज्यामिति), का हिस्सा है, जिसके 15 अंक हैं; इसी इकाई में वृत्त वाला अध्याय भी है (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)। CBSE अध्याय-वार अंक नहीं देता।

पाठ्यक्रम इस अध्याय के प्रमेयों में साफ़ फ़र्क करता है (पेज 5):

उपपत्ति के साथ (Prove): आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय। इसकी उपपत्ति लिखना आना चाहिए।
बिना उपपत्ति के (State): उसका विलोम, और समरूपता की AAA, SSS और SAS कसौटियाँ। इन्हें सही-सही कहना और प्रश्नों में लगाना आना चाहिए।

1. समरूप आकृतियाँ

जिन दो आकृतियों के आकार समान हों, पर आमाप (size) समान होना ज़रूरी न हो, वे समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं (पेज 84, 109)।
सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, पर हर समरूप आकृति सर्वांगसम नहीं होती (पेज 109)।
भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, अगर (i) उनके संगत कोण बराबर हों और (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हों (पेज 87)। संगत भुजाओं के इस एक अनुपात को स्केल गुणक कहते हैं (पेज 87)।

ध्यान दें: बहुभुजों के लिए दोनों शर्तें चाहिए। केवल कोण बराबर होने से, या केवल भुजाएँ समानुपाती होने से, दो बहुभुज समरूप नहीं हो जाते। त्रिभुजों के लिए एक शर्त से दूसरी अपने-आप मिल जाती है (पेज 101)।

2. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय)

प्रमेय 6.1 (पेज 91): अगर किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर कोई रेखा बाकी दो भुजाओं को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटे, तो वह उन दोनों भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है।

त्रिभुज ABC में DE ∥ BC (D भुजा AB पर, E भुजा AC पर) हो, तो AD/DB = AE/EC।

उपपत्ति का विचार (पेज 91-92): BE और CD मिलाइए, और DM ⊥ AC तथा EN ⊥ AB खींचिए। त्रिभुजों के क्षेत्रफल ½ × आधार × ऊँचाई से लिखिए। ar(BDE) = ar(DEC), क्योंकि दोनों एक ही आधार DE पर और एक ही समांतर रेखाओं DE और BC के बीच हैं। फिर ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB और ar(ADE)/ar(DEC) = AE/EC से परिणाम मिलता है।
बोर्ड में यही उपपत्ति माँगी जाती है, इसलिए इसे आकृति के साथ खुद लिखकर अभ्यास करें।

प्रमेय 6.2, विलोम (पेज 93): अगर कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

3. त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ

त्रिभुज ABC ~ त्रिभुज DEF लिखने का अर्थ है: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F और AB/DE = BC/EF = CA/FD। शीर्षों का क्रम ही बताता है कि कौन किसका संगत है।

कसौटी	क्या बराबर या समानुपाती हो	पेज
AAA (कोण-कोण-कोण)	तीनों संगत कोण बराबर	99
AA	दो संगत कोण बराबर (तीसरा अपने-आप बराबर, कोण योग गुणधर्म से)	99-100
SSS (भुजा-भुजा-भुजा)	तीनों संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में	100-101
SAS (भुजा-कोण-भुजा)	एक कोण बराबर, और उस कोण को अंतर्गत करने वाली दोनों भुजाएँ समानुपाती	102

किताब के अंत में "पाठकों के लिए विशेष" में RHS समरूपता कसौटी भी दी गई है: दो समकोण त्रिभुजों में कर्ण और एक भुजा समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं (पेज 110)।

4. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

शीर्षों का क्रम बिगाड़ना। अगर ∠A = ∠Q और ∠B = ∠R है, तो सही लिखना है त्रिभुज ABC ~ त्रिभुज QRP, न कि ABC ~ PQR। गलत क्रम से भुजाओं के अनुपात भी गलत जोड़े बनते हैं।
थेल्स प्रमेय में अनुपात मिलाना। AD/DB = AE/EC सही है, और AD/AB = AE/AC भी सही है। पर AD/DB = AE/AC जैसा मिला-जुला अनुपात गलत है: एक तरफ़ टुकड़ा/टुकड़ा, दूसरी तरफ़ टुकड़ा/पूरी भुजा।
SAS में गलत कोण लेना। कोण वही होना चाहिए जो उन दो समानुपाती भुजाओं के बीच हो। दो भुजाएँ समानुपाती हों पर बराबर कोण उनके बीच न हो, तो SAS नहीं लगता।

5. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के उदाहरण या अभ्यास-प्रश्न नहीं।

प्रश्न 1. हर जोड़ी के लिए बताइए कि आकृतियाँ समरूप हैं, समरूप नहीं हैं, या "ज़रूरी नहीं": (a) 4 cm × 6 cm का आयत और 6 cm × 9 cm का आयत; (b) भुजा 5 cm का एक समचतुर्भुज और भुजा 10 cm का दूसरा समचतुर्भुज; (c) दो सर्वांगसम त्रिभुज; (d) 2 cm × 5 cm का आयत और 4 cm × 8 cm का आयत।

उत्तर: (a) समरूप; (b) ज़रूरी नहीं; (c) समरूप; (d) समरूप नहीं।

(a) आयतों के सब कोण 90° हैं। भुजाओं का अनुपात 4/6 = 2/3 और 6/9 = 2/3, एक ही है। दोनों शर्तें पूरी हैं।
(b) भुजाओं का अनुपात 5/10 हर भुजा के लिए एक ही है, पर समचतुर्भुज के कोण कुछ भी हो सकते हैं। कोण बराबर हों तभी समरूप होंगे, इसलिए ज़रूरी नहीं।
(c) सर्वांगसम आकृतियाँ हमेशा समरूप होती हैं (स्केल गुणक 1)।
(d) कोण सब 90° हैं, पर 2/4 = 1/2 और 5/8 बराबर नहीं। भुजाएँ समानुपाती नहीं।

(पेज 87, 109।)

प्रश्न 2. त्रिभुज KLM में बिंदु X भुजा KL पर और Y भुजा KM पर है, और XY ∥ LM है। KX = 2.8 cm, XL = 4.2 cm और KY = 3.4 cm है। YM ज्ञात कीजिए।

उत्तर: YM = 5.1 cm।

थेल्स प्रमेय से KX/XL = KY/YM।
2.8/4.2 = 2/3, इसलिए 3.4/YM = 2/3, और YM = 3.4 × 3/2 = 5.1 cm।

(प्रमेय 6.1, पेज 91।)

प्रश्न 3. त्रिभुज ABC में DE ∥ BC है, D भुजा AB पर और E भुजा AC पर। AD = x cm, DB = (x − 2) cm, AE = (x + 2) cm और EC = (x − 1) cm है। x का मान और चारों लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x = 4; AD = 4 cm, DB = 2 cm, AE = 6 cm, EC = 3 cm।

AD/DB = AE/EC, इसलिए x/(x − 2) = (x + 2)/(x − 1)।
तिरछा गुणा: x(x − 1) = (x − 2)(x + 2), यानी x² − x = x² − 4, तो x = 4।
जाँच: AD/DB = 4/2 = 2 और AE/EC = 6/3 = 2 ✓।

(प्रमेय 6.1, पेज 91।)

प्रश्न 4. त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमशः बिंदु D और E हैं। हर स्थिति में बताइए कि DE ∥ BC है या नहीं: (a) AD = 2.2 cm, DB = 3.3 cm, AE = 4 cm, EC = 6 cm; (b) AB = 10 cm, AD = 4 cm, AC = 12 cm, AE = 5 cm।

उत्तर: (a) हाँ, DE ∥ BC; (b) नहीं।

(a) AD/DB = 2.2/3.3 = 2/3 और AE/EC = 4/6 = 2/3। अनुपात बराबर हैं, इसलिए विलोम (प्रमेय 6.2) से DE ∥ BC।
(b) DB = 10 − 4 = 6 और EC = 12 − 5 = 7। AD/DB = 4/6 = 2/3, पर AE/EC = 5/7। अनुपात बराबर नहीं, इसलिए DE, BC के समांतर नहीं।

(प्रमेय 6.2, पेज 93।)

प्रश्न 5. त्रिभुज ABC में AB = 6 cm, BC = 9 cm, CA = 12 cm है, और त्रिभुज XYZ में XY = 8 cm, YZ = 4 cm, ZX = 6 cm है। (a) क्या ये त्रिभुज समरूप हैं? किस कसौटी से? (b) समरूपता को शीर्षों के सही क्रम में लिखिए। (c) ∠A त्रिभुज XYZ के किस कोण के बराबर है?

उत्तर: (a) हाँ, SSS से; (b) त्रिभुज ABC ~ त्रिभुज YZX; (c) ∠Y।

दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ छोटी से बड़ी क्रम में: 6, 9, 12 और 4, 6, 8। अनुपात 6/4 = 9/6 = 12/8 = 3/2, तीनों बराबर। इसलिए SSS से समरूप।
जोड़े: AB (6) ↔ YZ (4), BC (9) ↔ ZX (6), CA (12) ↔ XY (8)। AB और YZ का साझा शीर्ष क्रम A ↔ Y, B ↔ Z देता है, और फिर C ↔ X। इसलिए ABC ~ YZX।
संगत कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠A = ∠Y।

(SSS कसौटी, पेज 100-101।)

प्रश्न 6. त्रिभुज PQR में PQ = 10 cm और PR = 15 cm है। बिंदु M भुजा PQ पर है, PM = 4 cm, और बिंदु N भुजा PR पर है, PN = 6 cm। (a) दिखाइए कि त्रिभुज PMN ~ त्रिभुज PQR। (b) QR = 12.5 cm हो तो MN ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (a) SAS से समरूप; (b) MN = 5 cm।

(a) PM/PQ = 4/10 = 2/5 और PN/PR = 6/15 = 2/5। ∠P दोनों त्रिभुजों में साझा है, और वही इन भुजाओं के बीच का कोण है। इसलिए SAS से त्रिभुज PMN ~ त्रिभुज PQR।
(b) MN/QR = 2/5, तो MN = (2/5) × 12.5 = 5 cm।
साथ में: PM/MQ = 4/6 और PN/NR = 6/9, दोनों 2/3, इसलिए विलोम से MN ∥ QR भी है।

(SAS कसौटी, पेज 102।)

प्रश्न 7. एक ढलान (ramp) की ढलवाँ सतह AB ज़मीन पर बिंदु A से शुरू होती है। A से 2 m की क्षैतिज दूरी पर ढलान के नीचे एक सीधा खड़ा खंभा DE लगा है, जिसकी ऊँचाई 0.8 m है और जिसका ऊपरी सिरा E ढलान को छूता है। ढलान का सबसे ऊँचा सिरा B, A से 5 m की क्षैतिज दूरी पर एक सीधी खड़ी दीवार BC पर टिका है। दीवार पर B की ऊँचाई BC कितनी है?

उत्तर: BC = 2 m।

त्रिभुज ADE और त्रिभुज ACB में ∠A साझा है, और ∠ADE = ∠ACB = 90° (खंभा और दीवार दोनों सीधे खड़े हैं)। AA से दोनों समरूप हैं।
इसलिए DE/CB = AD/AC, यानी 0.8/BC = 2/5।
BC = 0.8 × 5 ÷ 2 = 2 m।

(AA कसौटी, पेज 99-100।)

प्रश्न 8. रेखाखंड AD और BC बिंदु O पर एक-दूसरे को काटते हैं, और AB ∥ CD है (A और D, O के दो ओर हैं; B और C भी)। OA = 3 cm, OD = 7.5 cm, OB = 2.8 cm और AB = 4 cm है। OC और CD ज्ञात कीजिए।

उत्तर: OC = 7 cm, CD = 10 cm।

AB ∥ CD, इसलिए ∠OAB = ∠ODC और ∠OBA = ∠OCD (एकांतर कोण)। ∠AOB = ∠DOC भी है (शीर्षाभिमुख कोण)। इसलिए त्रिभुज OAB ~ त्रिभुज ODC (AA)।
अनुपात: OA/OD = OB/OC = AB/DC, यानी 3/7.5 = 2/5।
OC = 2.8 × 5/2 = 7 cm और CD = 4 × 5/2 = 10 cm।

(AAA/AA कसौटी, पेज 99-100।)

6. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

शीर्षों का क्रम जाँचिए। AI "ABC ~ PQR" लिखे, तो देखिए कि कोण सच में A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R से बराबर हैं या नहीं। यहीं सबसे ज़्यादा गलती होती है।
अनुपात दोबारा बनाइए। थेल्स प्रमेय वाले उत्तर में निकली लंबाई वापस रखकर देखिए कि दोनों ओर का अनुपात सच में बराबर आता है।
उपपत्ति में "क्यों" माँगिए। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय की उपपत्ति में हर कदम का कारण (जैसे "एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच") लिखा होना चाहिए; AI अक्सर यही कारण छोड़ देता है।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के अभ्यास-प्रश्न: Class 10 Triangles, practice questions with answers। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

इसी किताब के दूसरे अध्याय, हिंदी में: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ, अध्याय 2 बहुपद, अध्याय 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म, अध्याय 4 द्विघात समीकरण, पिछला अध्याय अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ और अगला अध्याय अध्याय 7 निर्देशांक ज्यामिति।
ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 और "Triangles: similarity (board practice)" चुनें।
छापने लायक, उत्तर के साथ: Triangles (similarity) की वर्कशीट।
बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।

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स्रोत

सभी 4 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम), अध्याय 6 "त्रिभुज", पेज 84 से 110: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh106.pdf
NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 6 "Triangles": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh106.pdf
CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure (पेज 3) और Unit IV Geometry (पेज 5): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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