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कक्षा 10 गणित अध्याय 7 निर्देशांक ज्यामिति: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 5 नवंबर 2026

NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का सातवाँ अध्याय "निर्देशांक ज्यामिति" है, पेज 111 से 126 तक। इसमें दो ही बड़े औज़ार हैं: दूरी सूत्र और विभाजन सूत्र। यह गाइड दो काम करती है:

• अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
• अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 10 Coordinate Geometry, practice questions with answers।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। इकाई III, "Coordinate Geometry" (निर्देशांक ज्यामिति), में यही एक अध्याय है, और इसके 6 अंक हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)।

पाठ्यक्रम में इस इकाई की सामग्री छोटी है (पेज 5): निर्देशांक तल का दोहराव, दूरी सूत्र, और विभाजन सूत्र (केवल आंतरिक विभाजन)। बाहरी विभाजन इस कक्षा में नहीं है; किताब भी कहती है कि उसे आप उच्चतर कक्षाओं में पढ़ेंगे (पेज 126)।

1. शुरुआत: भुज और कोटि

• किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी उसका x-निर्देशांक या भुज (abscissa) है, और x-अक्ष से दूरी उसका y-निर्देशांक या कोटि (ordinate) (पेज 111)।
• x-अक्ष के हर बिंदु का रूप (x, 0) होता है, और y-अक्ष के हर बिंदु का रूप (0, y) (पेज 111)। अक्ष पर बिंदु ढूँढने वाले प्रश्नों में यही बात पहला कदम है।
• निर्देशांक ज्यामिति बीजगणित की मदद से ज्यामिति पढ़ने का औज़ार है (पेज 112)।

2. दूरी सूत्र

बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी:

PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

• यह पाइथागोरस प्रमेय से आता है: दोनों बिंदुओं के बीच आड़ा अंतर और खड़ा अंतर एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं, और PQ उसका कर्ण (पेज 114)। किताब इसे दूरी सूत्र कहती है (पेज 115)।
• दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए केवल धनात्मक वर्गमूल लेते हैं (पेज 114)।
• मूलबिंदु O(0, 0) से बिंदु P(x, y) की दूरी √(x² + y²) है (पेज 115)।
• अंतर किसी भी क्रम में ले सकते हैं, (x₁ − x₂)² भी वही देता है, क्योंकि वर्ग में चिह्न मिट जाता है (पेज 115)।

दूरी सूत्र से क्या-क्या जाँचते हैं:

3. विभाजन सूत्र

अगर बिंदु P(x, y) बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड को m₁ : m₂ के अनुपात में आंतरिक रूप से बाँटता है (यानी PA : PB = m₁ : m₂), तो (पेज 121):

x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂), y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)

• याद रखने का तरीका: m₁ का गुणा B के निर्देशांक से, और m₂ का गुणा A के निर्देशांक से। यानी हर अनुपात-संख्या दूर वाले सिरे से जुड़ती है।
• यह सूत्र पिछले अध्याय की AA समरूपता से निकाला गया है (पेज 119-120)। यानी अध्याय 6 यहाँ काम आता है।
• अनुपात k : 1 लें, तो P = ((kx₂ + x₁)/(k + 1), (ky₂ + y₁)/(k + 1)) (पेज 121)। जब अनुपात ढूँढना हो, तब यही रूप आसान है: एक ही अज्ञात k रहता है।
• मध्य-बिंदु अनुपात 1 : 1 वाली विशेष स्थिति है: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) (पेज 121)।
• किसी अक्ष पर विभाजन बिंदु ढूँढना हो, तो x-अक्ष पर y = 0 रखिए, y-अक्ष पर x = 0 (पेज 124)।

4. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

1. ऋणात्मक संख्याओं का अंतर। (−3) − 4 = −7 है, और 2 − (−5) = 7। कोष्ठक छोड़ने से सबसे ज़्यादा गलत दूरियाँ निकलती हैं। हर निर्देशांक को कोष्ठक में लिखकर घटाइए।
2. m₁ और m₂ उलट देना। PA : PB = 2 : 3 है, तो 2 का गुणा B वाले निर्देशांक से होगा, A वाले से नहीं। उत्तर निकालकर देखिए: P, A के ज़्यादा पास होना चाहिए, क्योंकि PA छोटा भाग है।
3. वर्गमूल भूल जाना। (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² दूरी का वर्ग है, दूरी नहीं। अंतिम पंक्ति में √ लगाना और उत्तर में मात्रक लिखना न भूलें।

5. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के उदाहरण या अभ्यास-प्रश्न नहीं। सभी ग्रिडों पर 1 मात्रक = 1 मीटर मानें।

प्रश्न 1. एक ड्रोन मैदान के ग्रिड पर बिंदु A(−4, 1) से सीधा उड़कर बिंदु B(4, −14) के ऊपर पहुँचता है। ज़मीन पर नापें, तो उसने कितनी दूरी तय की?

उत्तर: AB = 17 m।

• x का अंतर: 4 − (−4) = 8। y का अंतर: −14 − 1 = −15।
• AB = √(8² + (−15)²) = √(64 + 225) = √289 = 17 m।

(दूरी सूत्र, पेज 114-115।)

प्रश्न 2. गाँव के नक्शे पर चौपाल मूलबिंदु O(0, 0) पर है और एक नीम का पेड़ बिंदु T(−20, 21) पर। चौपाल से पेड़ की सीधी दूरी कितनी है?

उत्तर: OT = 29 m।

• मूलबिंदु से दूरी √(x² + y²) होती है।
• OT = √((−20)² + 21²) = √(400 + 441) = √841 = 29 m।

(मूलबिंदु से दूरी, पेज 115।)

प्रश्न 3. एक शहर के नक्शे पर तीन बस-स्टॉप P(−1, −3), Q(1, 1) और R(4, 7) पर हैं। क्या तीनों एक ही सीधी सड़क पर हो सकते हैं? दूरी सूत्र से कारण दीजिए।

उत्तर: हाँ, तीनों संरेखी हैं (Q बीच में है)।

• PQ = √(2² + 4²) = √20 = 2√5
• QR = √(3² + 6²) = √45 = 3√5
• PR = √(5² + 10²) = √125 = 5√5
• PQ + QR = 2√5 + 3√5 = 5√5 = PR। दो छोटी दूरियों का योग तीसरी के बराबर है, इसलिए तीनों बिंदु एक सीधी रेखा पर हैं।

(संरेखता की जाँच, पेज 116-117।)

प्रश्न 4. एक बगीचे में तीन खंभे P(1, −2), Q(5, 1) और R(−2, 2) पर हैं, और उनके बीच तार बँधे हैं। दिखाइए कि तारों से बना त्रिभुज समद्विबाहु भी है और समकोण भी। समकोण किस शीर्ष पर है?

उत्तर: PQ = PR = 5 m और QR = √50 m; समकोण P पर है।

• PQ² = 4² + 3² = 25, इसलिए PQ = 5।
• PR² = (−3)² + 4² = 25, इसलिए PR = 5। PQ = PR, तो त्रिभुज समद्विबाहु है।
• QR² = (−7)² + 1² = 50।
• PQ² + PR² = 25 + 25 = 50 = QR², इसलिए पाइथागोरस के विलोम से ∠P = 90°।

(पेज 115।)

प्रश्न 5. खेत के नक्शे पर दो कुएँ W₁(−1, 4) और W₂(5, 2) पर हैं, और एक सीधी पगडंडी x-अक्ष के साथ चलती है। पगडंडी पर पंप कहाँ लगाएँ कि वह दोनों कुओं से बराबर दूरी पर (समदूरस्थ) हो?

उत्तर: पंप बिंदु (1, 0) पर; दोनों कुओं से दूरी √20 = 2√5 m।

• पगडंडी x-अक्ष है, इसलिए पंप का रूप (x, 0) होगा।
• (x + 1)² + 4² = (x − 5)² + 2²
• x² + 2x + 17 = x² − 10x + 29, इसलिए 12x = 12 और x = 1।
• जाँच: (1, 0) से W₁ तक √(4 + 16) = √20 और W₂ तक √(16 + 4) = √20 ✓।

(x-अक्ष के बिंदु का रूप (x, 0), पेज 111; दूरी सूत्र, पेज 115।)

प्रश्न 6. स्कूल S(−2, 5) से बाज़ार M(8, −5) तक एक सीधी सड़क है। सड़क पर बस-स्टॉप P ऐसा बनाना है कि SP : PM = 3 : 2 हो। P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: P(4, −1)।

• m₁ = 3 (M के निर्देशांकों से गुणा), m₂ = 2 (S के निर्देशांकों से गुणा)।
• x = (3 × 8 + 2 × (−2))/5 = (24 − 4)/5 = 4
• y = (3 × (−5) + 2 × 5)/5 = (−15 + 10)/5 = −1
• जाँच: SP = √(36 + 36) = 6√2 और PM = √(16 + 16) = 4√2, अनुपात 6 : 4 = 3 : 2 ✓।

(विभाजन सूत्र, पेज 121।)

प्रश्न 7. बिंदु P(2, y), बिंदुओं A(−4, 8) और B(6, −2) को जोड़ने वाले रेखाखंड पर है। P इस रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है? y का मान भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अनुपात 3 : 2; y = 2, यानी P(2, 2)।

• अनुपात k : 1 मानिए। x-निर्देशांक से: (6k − 4)/(k + 1) = 2।
• 6k − 4 = 2k + 2, इसलिए 4k = 6 और k = 3/2। अनुपात 3 : 2 है।
• y = (3 × (−2) + 2 × 8)/5 = (−6 + 16)/5 = 2।

(अनुपात k : 1 वाला रूप, पेज 121।)

प्रश्न 8. त्रिभुज ABC के शीर्ष A(2, 6), B(−4, 0) और C(8, −2) हैं। BC का मध्य-बिंदु D ज्ञात कीजिए, और फिर माध्यिका AD की लंबाई।

उत्तर: D(2, −1); AD = 7 मात्रक।

• D = ((−4 + 8)/2, (0 + (−2))/2) = (2, −1)।
• A और D का x-निर्देशांक एक ही (2) है, इसलिए AD खड़ी रेखा है: AD = 6 − (−1) = 7।
• दूरी सूत्र से भी: √(0² + 7²) = 7 ✓।

(मध्य-बिंदु, पेज 121; दूरी सूत्र, पेज 115।)

6. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

• उत्तर वापस रखकर देखिए। AI कोई विभाजन बिंदु बताए, तो दोनों भागों की लंबाई दूरी सूत्र से निकालकर देखिए कि अनुपात सच में वही आता है।
• चिह्न जाँचिए। ऋणात्मक निर्देशांकों वाले प्रश्नों में AI भी कोष्ठक छोड़कर गलत अंतर ले लेता है। हर घटाव खुद दोबारा कीजिए।
• बिंदु की जगह सोचिए। अनुपात 1 : 4 हो, तो बिंदु पहले सिरे के बहुत पास होना चाहिए। उत्तर का बिंदु दोनों सिरों के बीच ही न हो, तो कहीं गलती है।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के अभ्यास-प्रश्न: Class 10 Coordinate Geometry, practice questions with answers। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

• इसी किताब के दूसरे अध्याय, हिंदी में: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ, अध्याय 2 बहुपद, अध्याय 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म, अध्याय 4 द्विघात समीकरण, अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ, पिछला अध्याय अध्याय 6 त्रिभुज और अगला अध्याय अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय।
• ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 और "Coordinate Geometry (board practice)" चुनें।
• छापने लायक, उत्तर के साथ: Coordinate Geometry की वर्कशीट।
• बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।

CMDLearn कहाँ फिट होता है

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स्रोत

सभी 5 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

• NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम), अध्याय 7 "निर्देशांक ज्यामिति", पेज 111 से 126: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh107.pdf
• NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 7 "Coordinate Geometry": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh107.pdf
• CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure (पेज 3) और Unit III Coordinate Geometry (पेज 5): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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