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कक्षा 10 गणित अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 4 नवंबर 2026

NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का पाँचवाँ अध्याय "समांतर श्रेढ़ियाँ" है, पेज 56 से 83 तक। यह गाइड दो काम करती है:

• अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
• अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 10 Arithmetic Progressions, practice questions with answers।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। यह अध्याय इकाई II, "Algebra" (बीजगणित), का हिस्सा है, जिसके 20 अंक हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)। CBSE अध्याय-वार अंक नहीं देता।

पाठ्यक्रम इस अध्याय से ये चीज़ें माँगता है (पेज 4):

• समांतर श्रेढ़ी पढ़ने का कारण, यानी रोज़ के जीवन में इसके उदाहरण;
• nवें पद और पहले n पदों के योग के सूत्र निकालना;
• इन सूत्रों से रोज़ के जीवन के प्रश्न हल करना।

किताब की एक टिप्पणी भी याद रखें: प्रश्नावली 5.4 (ऐच्छिक) परीक्षा की दृष्टि से नहीं है (पेज 81)।

1. समांतर श्रेढ़ी क्या है

• संख्याओं की सूची की हर संख्या एक पद कहलाती है (पेज 58)।
• समांतर श्रेढ़ी (A.P.) ऐसी सूची है जिसमें पहले पद को छोड़कर हर पद अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने से मिलता है (पेज 59)।
• यह निश्चित संख्या सार्व अंतर d कहलाती है। d धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य, कुछ भी हो सकता है (पेज 59)।
• पहले पद को a कहें, तो A.P. का व्यापक रूप है: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... (पेज 59)।

जाँच का तरीका: किसी सूची के लिए a₂ − a₁, a₃ − a₂, a₄ − a₃, ... निकालिए। सब बराबर हों, तभी सूची A.P. है (पेज 61)। d निकालते समय हमेशा अगले पद में से पिछला पद घटाइए, चाहे अगला पद छोटा ही क्यों न हो (पेज 61)।

हमारा उदाहरण: 6, 10, 14, 18, ... में हर अंतर 4 है, इसलिए यह A.P. है: a = 6, d = 4।

2. nवाँ पद

प्रथम पद a और सार्व अंतर d वाली A.P. का nवाँ पद (व्यापक पद) है (पेज 66):

aₙ = a + (n − 1) d

• अगर A.P. में कुल m पद हों, तो aₘ उसका अंतिम पद है, जिसे कभी-कभी l भी लिखते हैं (पेज 66)।
• इसी सूत्र से चार में से कोई भी एक राशि (aₙ, a, n, d) निकाली जा सकती है, अगर बाकी तीन पता हों।
• कोई संख्या A.P. का पद है या नहीं, यह देखने के लिए n निकालिए: n धनात्मक पूर्णांक आए तभी वह संख्या पद है।

हमारा उदाहरण: 6, 10, 14, ... का 12वाँ पद = 6 + 11 × 4 = 50।

3. पहले n पदों का योग

किताब 1 से 100 तक की संख्याओं को एक बार सीधे और एक बार उल्टे क्रम में लिखकर जोड़ने की तरकीब से योग का सूत्र निकालती है (पेज 72-73)। पहले n पदों का योग (पेज 73-74):

• पहले n पदों के योग को Sₙ भी लिखते हैं। S, a, d और n में से कोई तीन पता हों, तो चौथा निकाला जा सकता है (पेज 74)।
• टिप्पणी: nवाँ पद = पहले n पदों का योग − पहले (n − 1) पदों का योग, यानी aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (पेज 74)।

हमारा उदाहरण: 6, 10, 14, ... के पहले 12 पदों का योग = (12/2)(6 + 50) = 6 × 56 = 336।

4. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

1. d उल्टा घटाना। 20, 17, 14, ... में d = 17 − 20 = −3 है, +3 नहीं। ऋणात्मक d का चिह्न छूटते ही आगे का हर पद गलत हो जाता है।
2. (n − 1) की जगह n लिखना। 18वाँ पद a + 17d है, a + 18d नहीं। पहला पद a खुद है, इसलिए d सिर्फ़ (n − 1) बार जुड़ता है।
3. भिन्न n को मान लेना। क्या 100, A.P. 6, 13, 20, ... का पद है? 100 = 6 + (n − 1) × 7 से n − 1 = 94/7 आता है, जो पूर्णांक नहीं। इसलिए 100 इस A.P. का पद नहीं है। n भिन्न या ऋणात्मक आए, तो उत्तर "नहीं" है।

5. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के उदाहरण या अभ्यास-प्रश्न नहीं।

प्रश्न 1. इनमें से कौन-सी सूचियाँ A.P. हैं? जो A.P. हैं, उनका सार्व अंतर बताइए और अगले दो पद लिखिए: (a) 11, 18, 25, 32, ...; (b) 5, 15, 45, 135, ...; (c) 13, 8, 3, −2, ...; (d) 4, 6, 10, 16, ...; (e) 0.5, 0.75, 1, 1.25, ...।

उत्तर: (a), (c) और (e) A.P. हैं; (b) और (d) नहीं।

• (a) हर अंतर 7 है। d = 7, अगले पद 39 और 46।
• (b) अंतर 10, 30, 90 हैं, बराबर नहीं (यहाँ हर पद पिछले का 3 गुना है)। A.P. नहीं।
• (c) हर अंतर −5 है। d = −5, अगले पद −7 और −12।
• (d) अंतर 2, 4, 6 हैं, बराबर नहीं। A.P. नहीं।
• (e) हर अंतर 0.25 है। d = 0.25, अगले पद 1.5 और 1.75।

(परिभाषा और जाँच, पेज 59-61।)

प्रश्न 2. A.P. 6, 13, 20, ... के लिए: (a) 18वाँ पद ज्ञात कीजिए। (b) क्या 202 इसका एक पद है? अगर हाँ, तो कौन-सा?

उत्तर: (a) 125; (b) हाँ, 29वाँ पद।

• a = 6, d = 13 − 6 = 7।
• (a) a₁₈ = 6 + 17 × 7 = 6 + 119 = 125।
• (b) 202 = 6 + (n − 1) × 7, तो (n − 1) × 7 = 196, n − 1 = 28, n = 29। n पूर्णांक है, इसलिए 202 इस A.P. का 29वाँ पद है।

(nवाँ पद, पेज 66।)

प्रश्न 3. A.P. 150, 143, 136, ... का कौन-सा पद 10 है? क्या 0 इस A.P. का कोई पद है?

उत्तर: 21वाँ पद; 0 कोई पद नहीं है।

• a = 150, d = 143 − 150 = −7।
• 10 = 150 + (n − 1)(−7), तो (n − 1) × 7 = 140, n − 1 = 20, n = 21।
• 0 के लिए: (n − 1) × 7 = 150, n − 1 = 150/7, जो पूर्णांक नहीं। इसलिए 0 कोई पद नहीं है। (20वाँ पद 17 है और 21वाँ 10; 22वाँ सीधे 3 है।)

(पेज 66।)

प्रश्न 4. किसी A.P. का चौथा पद 19 है और दसवाँ पद 43 है। A.P. के पहले चार पद और उसका 25वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 7, 11, 15, 19; 25वाँ पद 103।

• a + 3d = 19 और a + 9d = 43। दूसरे में से पहला घटाने पर 6d = 24, d = 4।
• a = 19 − 3 × 4 = 7। पहले चार पद: 7, 11, 15, 19।
• a₂₅ = 7 + 24 × 4 = 103। जाँच: a₁₀ = 7 + 9 × 4 = 43 ✓।

(पेज 66।)

प्रश्न 5. 100 और 300 के बीच ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिन्हें 5 से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है? उन सबका योग भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 40 संख्याएँ; योग 7980।

• ऐसी पहली संख्या 102 है और अंतिम 297। सूची 102, 107, 112, ..., 297 एक A.P. है: a = 102, d = 5, l = 297।
• 297 = 102 + (n − 1) × 5, तो n − 1 = 195/5 = 39, n = 40।
• योग S = (40/2)(102 + 297) = 20 × 399 = 7980।

(nवाँ पद, पेज 66; S = (n/2)(a + l), पेज 74।)

प्रश्न 6. A.P. 4, 9, 14, ... के पहले 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 664।

• a = 4, d = 5, n = 16।
• S₁₆ = (16/2) [2 × 4 + 15 × 5] = 8 × (8 + 75) = 8 × 83 = 664।
• दूसरे सूत्र से जाँच: a₁₆ = 4 + 15 × 5 = 79, और (16/2)(4 + 79) = 8 × 83 = 664 ✓।

(पेज 73-74।)

प्रश्न 7. एक सभागार की पहली पंक्ति में 18 कुर्सियाँ हैं, और हर अगली पंक्ति में पिछली से 2 कुर्सियाँ अधिक हैं। अंतिम पंक्ति में 56 कुर्सियाँ हैं। सभागार में कितनी पंक्तियाँ हैं और कुल कितनी कुर्सियाँ हैं?

उत्तर: 20 पंक्तियाँ, 740 कुर्सियाँ।

• कुर्सियों की संख्या 18, 20, 22, ..., 56 एक A.P. है: a = 18, d = 2, l = 56।
• 56 = 18 + (n − 1) × 2, तो n − 1 = 19, n = 20 पंक्तियाँ।
• कुल कुर्सियाँ = (20/2)(18 + 56) = 10 × 74 = 740।

(रोज़ के जीवन में A.P., पेज 66 और 74।)

प्रश्न 8. किसी A.P. के पहले n पदों का योग Sₙ = 3n² + 2n है। पहला पद, दूसरा पद, सार्व अंतर और 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a₁ = 5, a₂ = 11, d = 6, a₁₀ = 59।

• पहला पद = S₁ = 3 + 2 = 5।
• S₂ = 12 + 4 = 16, इसलिए दूसरा पद a₂ = S₂ − S₁ = 16 − 5 = 11। d = 11 − 5 = 6।
• a₁₀ = S₁₀ − S₉ = (300 + 20) − (243 + 18) = 320 − 261 = 59। जाँच: a + 9d = 5 + 54 = 59 ✓।

(टिप्पणी aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁, पेज 74।)

6. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

• पहले कुछ पद लिखकर देखिए। AI जो a और d दे, उनसे पहले तीन-चार पद बनाइए और प्रश्न की सूची से मिलाइए।
• n पूर्णांक है या नहीं। "कौन-सा पद" वाले प्रश्न में AI का n भिन्न आए, तो वह संख्या पद है ही नहीं; AI कई बार उसे गोल करके उत्तर दे देता है।
• योग को दोनों सूत्रों से मिलाइए। अंतिम पद l निकालकर (n/2)(a + l) से भी योग देखिए; दोनों बराबर आने चाहिए, जैसे प्रश्न 6 में।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के अभ्यास-प्रश्न: Class 10 Arithmetic Progressions, practice questions with answers। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

• इसी किताब के दूसरे अध्याय, हिंदी में: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ, अध्याय 2 बहुपद, अध्याय 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म, अध्याय 4 द्विघात समीकरण और अगला अध्याय अध्याय 6 त्रिभुज।
• ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 और "Arithmetic Progressions (board practice)" चुनें।
• छापने लायक, उत्तर के साथ: Arithmetic Progressions की वर्कशीट।
• बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।

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CMDLearn कक्षा 1 से 10 के लिए हिंदी, मराठी और अंग्रेज़ी में एक AI ट्यूटर बना रहा है, जो एक कदम समझाता है और बच्चे का काम जाँचता है, पर लिखना बच्चे पर छोड़ता है। यह अभी तैयार हो रहा है और अभी कोई बच्चा इसका इस्तेमाल नहीं करता। जब आज़माने को कुछ हो, तब ख़बर पाने के लिए वेटलिस्ट से जुड़ें।

स्रोत

सभी 4 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

• NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम), अध्याय 5 "समांतर श्रेढ़ियाँ", पेज 56 से 83: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh105.pdf
• NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 5 "Arithmetic Progressions": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh105.pdf
• CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure और Unit II (पेज 3-4): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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