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कक्षा 10 गणित अध्याय 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 4 नवंबर 2026

NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का तीसरा अध्याय "दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म" है, पेज 28 से 43 तक। यह गाइड दो काम करती है:

• अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
• अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के अभ्यास-प्रश्न चाहिए, तो Class 10 Pair of Linear Equations, practice questions with answers देखें।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। यह अध्याय इकाई II, "Algebra" (बीजगणित), का हिस्सा है, जिसके 20 अंक हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)। CBSE अध्याय-वार अंक नहीं देता।

पाठ्यक्रम इस अध्याय से तीन चीज़ें माँगता है (पेज 4):

• समीकरण युग्म को ग्राफ़ से हल करना, और बताना कि युग्म संगत है या असंगत;
• गुणांकों के अनुपात से हलों की संख्या बताना;
• प्रतिस्थापन और विलोपन विधि से हल करना, और रोज़ की सरल स्थितियों वाले प्रश्न।

ध्यान दें: किताब के सारांश (पेज 43) में तीसरी विधि "वज्र-गुणन विधि" का नाम भी लिखा है, पर 2026-27 के पाठ्यक्रम में केवल प्रतिस्थापन और विलोपन विधि हैं, और अध्याय के अंदर भी यही दो विधियाँ सिखाई गई हैं।

1. युग्म, हल और तीन तरह की रेखाएँ

दो चरों x और y वाला रैखिक समीकरण a₁x + b₁y + c₁ = 0 जैसा होता है। ऐसे दो समीकरण साथ हों, तो वे रैखिक समीकरण युग्म बनाते हैं। x और y के जो मान दोनों समीकरणों को एक साथ सच कर दें, वही युग्म का हल है।

हर रैखिक समीकरण का ग्राफ़ एक सरल रेखा है, इसलिए युग्म का ग्राफ़ दो रेखाएँ हैं। ये तीन तरह से मिल सकती हैं (पेज 29-30):

किताब के शब्द याद रखें: जिस युग्म का कोई हल नहीं, वह असंगत है; जिसका हल है, वह संगत; और जिसके अनगिनत हल हैं, वह आश्रित, जो हमेशा संगत होता है (पेज 29)।

2. अनुपातों से हलों की संख्या (सारणी 3.1, पेज 30-31)

ग्राफ़ बनाए बिना भी पता चल सकता है कि रेखाएँ कैसी होंगी। a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के गुणांकों के अनुपात देखिए:

काम की आदत: पहले दोनों समीकरणों को एक ही रूप में लिखिए (सब पद बाईं ओर, दाईं ओर 0), फिर चिह्न समेत a, b, c पढ़िए। आधी गलतियाँ यहीं होती हैं।

3. ग्राफ़ीय विधि (पेज 29-33)

1. हर समीकरण के लिए x के दो आसान मान लेकर y निकालिए और छोटी सारणी बनाइए।
2. बिंदुओं को ग्राफ़ पेपर पर अंकित करके दोनों रेखाएँ खींचिए।
3. रेखाएँ जिस बिंदु पर काटें, उसके निर्देशांक ही हल हैं। फिर दोनों समीकरणों में रखकर जाँचिए।

हल भिन्न या दशमलव में हो, जैसे (−1.75, 3.3), तो ग्राफ़ से सही-सही पढ़ना मुश्किल है। इसीलिए बीजगणितीय विधियाँ चाहिए (पेज 34-35)।

4. प्रतिस्थापन विधि (पेज 35-38)

1. किसी एक समीकरण से एक चर को दूसरे के रूप में लिखिए, जैसे y = ... ।
2. यह मान दूसरे समीकरण में रखिए। अब एक ही चर का समीकरण बचेगा; उसे हल कीजिए।
3. मिला हुआ मान पहले चरण वाले समीकरण में रखकर दूसरा चर निकालिए।

ख़ास स्थिति: दूसरे चरण में चर ही गायब हो जाए और 18 = 18 जैसा सत्य कथन बचे, तो अपरिमित रूप से अनेक हल हैं; −4 = 0 जैसा असत्य कथन बचे, तो कोई हल नहीं (पेज 35, 37-38)।

5. विलोपन विधि (पेज 39-42)

1. दोनों समीकरणों को उपयुक्त शून्येतर संख्याओं से गुणा कीजिए, ताकि किसी एक चर के गुणांक संख्या में बराबर हो जाएँ।
2. समीकरणों को जोड़िए या घटाइए, ताकि वह चर हट (विलोपित हो) जाए।
3. बचे एक चर वाले समीकरण को हल कीजिए, फिर किसी भी मूल समीकरण में रखकर दूसरा चर निकालिए।

यहाँ भी वही नियम है: चर हटने पर सत्य कथन बचे, तो अनेक हल; असत्य कथन बचे, तो कोई हल नहीं (पेज 40)।

कौन-सी विधि कब? जिस समीकरण में किसी चर का गुणांक 1 हो, वहाँ प्रतिस्थापन आसान है। जहाँ दोनों समीकरणों में किसी चर के गुणांक बराबर या उलटे चिह्न के हों, वहाँ विलोपन जल्दी होता है।

6. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

1. अनुपात लिखते समय चिह्न छोड़ देना। 3x − 7y + 2 = 0 में b₁ = −7 है, 7 नहीं।
2. घटाते समय पूरे समीकरण का चिह्न न बदलना। दूसरा समीकरण घटाएँ, तो उसके हर पद का चिह्न बदलता है, दाएँ पक्ष का भी।
3. शब्द-प्रश्न में चर का अर्थ न लिखना। "मान लीजिए एक समोसे का दाम ₹x है" जैसी पंक्ति पहले लिखिए; उत्तर के अंत में इकाई (₹, kg) भी लिखिए।

7. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के अभ्यास-प्रश्न नहीं।

प्रश्न 1. अनुपातों की तुलना करके बताइए कि हर युग्म की रेखाएँ प्रतिच्छेद करेंगी, समांतर होंगी या संपाती, और युग्म संगत, असंगत या आश्रित है: (a) 4x − 5y + 7 = 0 और 2x + 3y − 1 = 0; (b) 6x + 9y − 12 = 0 और 2x + 3y − 4 = 0; (c) 3x − 7y + 2 = 0 और 6x − 14y + 5 = 0।

उत्तर:

• (a) a₁/a₂ = 4/2 = 2 और b₁/b₂ = −5/3। दोनों बराबर नहीं, इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, केवल एक हल, युग्म संगत।
• (b) 6/2 = 3, 9/3 = 3 और −12/−4 = 3। तीनों बराबर, इसलिए रेखाएँ संपाती, अपरिमित रूप से अनेक हल, युग्म आश्रित (संगत)।
• (c) 3/6 = 1/2 और −7/−14 = 1/2, पर c₁/c₂ = 2/5। पहले दो बराबर, तीसरा अलग, इसलिए रेखाएँ समांतर, कोई हल नहीं, युग्म असंगत।

(सारणी 3.1, पेज 30-31।)

प्रश्न 2. k के किस मान के लिए युग्म kx + 6y = 9 और 2x + 3y = 5 का कोई हल नहीं होगा? क्या k का कोई ऐसा मान है जिससे इसके अनेक हल हों?

उत्तर: k = 4; अनेक हल किसी भी k के लिए नहीं।

• दोनों को मानक रूप में लिखें: kx + 6y − 9 = 0 और 2x + 3y − 5 = 0।
• कोई हल न होने के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ चाहिए: k/2 = 6/3 = 2, यानी k = 4। और c₁/c₂ = 9/5, जो 2 के बराबर नहीं, इसलिए शर्त पूरी होती है।
• अनेक हलों के लिए तीनों अनुपात बराबर चाहिए, पर b₁/b₂ = 2 और c₁/c₂ = 9/5 कभी बराबर नहीं होंगे, k कुछ भी हो। इसलिए ऐसा कोई k नहीं।

(पेज 30-31।)

प्रश्न 3. युग्म x + y = 7 और x − y = 1 को ग्राफ़ से हल करना है। (a) हर समीकरण के दो-दो बिंदु बताइए। (b) रेखाएँ किस बिंदु पर कटेंगी? (c) हल की जाँच कीजिए।

उत्तर:

• (a) x + y = 7 के लिए (0, 7) और (7, 0); x − y = 1 के लिए (1, 0) और (0, −1)। (कोई भी दो सही बिंदु चलेंगे।)
• (b) दोनों रेखाएँ (4, 3) पर कटती हैं, यानी x = 4, y = 3।
• (c) 4 + 3 = 7 और 4 − 3 = 1, दोनों समीकरण सच।

(ग्राफ़ीय विधि, पेज 29-33।)

प्रश्न 4. प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: 3x + 2y = 18 और y = 2x − 5।

उत्तर: x = 4, y = 3।

1. दूसरे समीकरण में y पहले से x के रूप में है। इसे पहले में रखें: 3x + 2(2x − 5) = 18।
2. 3x + 4x − 10 = 18, यानी 7x = 28, x = 4।
3. y = 2 × 4 − 5 = 3।

जाँच: 3 × 4 + 2 × 3 = 18 और 2 × 4 − 5 = 3। (प्रतिस्थापन विधि, पेज 35।)

प्रश्न 5. विलोपन विधि से हल कीजिए: 5x + 3y = 31 और 2x − 3y = 4।

उत्तर: x = 5, y = 2।

1. y के गुणांक 3 और −3 हैं, यानी संख्या में बराबर और चिह्न उलटे। इसलिए सीधे जोड़ दीजिए: 7x = 35, यानी x = 5।
2. पहले समीकरण में रखें: 25 + 3y = 31, यानी 3y = 6, y = 2।

जाँच: 2 × 5 − 3 × 2 = 10 − 6 = 4। (विलोपन विधि, पेज 39-40।)

प्रश्न 6. स्कूल की कैंटीन में 4 समोसे और 3 गिलास जूस ₹110 के आते हैं, और 2 समोसे और 5 गिलास जूस ₹118 के। एक समोसे और एक गिलास जूस का दाम ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समोसा ₹14, जूस ₹18 का गिलास।

1. मान लीजिए एक समोसा ₹x का और एक गिलास जूस ₹y का है। तब 4x + 3y = 110 और 2x + 5y = 118।
2. दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें: 4x + 10y = 236। इसमें से पहला समीकरण घटाएँ: 7y = 126, यानी y = 18।
3. पहले में रखें: 4x + 54 = 110, यानी 4x = 56, x = 14।

जाँच: 2 × 14 + 5 × 18 = 28 + 90 = 118। (विलोपन विधि, पेज 39-40।)

प्रश्न 7. एक दुकानदार ₹400 प्रति kg वाली और ₹600 प्रति kg वाली दो तरह की चाय मिलाकर 10 kg का ऐसा मिश्रण बनाता है, जिसका कुल दाम ₹4,800 हो। हर तरह की चाय कितने kg ली गई?

उत्तर: ₹400 वाली 6 kg, ₹600 वाली 4 kg।

1. मान लीजिए ₹400 वाली x kg और ₹600 वाली y kg। तब x + y = 10 और 400x + 600y = 4800।
2. दूसरे को 200 से भाग देने पर 2x + 3y = 24। पहले से x = 10 − y रखें: 2(10 − y) + 3y = 24, यानी 20 + y = 24, y = 4।
3. x = 10 − 4 = 6।

जाँच: 400 × 6 + 600 × 4 = 2400 + 2400 = 4800। (प्रतिस्थापन विधि, पेज 35।)

प्रश्न 8. रवि ने युग्म 3x − 2y = 5 और 6x − 4y = 12 को विलोपन विधि से हल किया। पहले समीकरण को 2 से गुणा करके घटाने पर उसे 0 = 2 मिला। (a) इसका क्या मतलब है, और ग्राफ़ पर रेखाएँ कैसी होंगी? (b) अगर दूसरा समीकरण 6x − 4y = 10 होता, तो क्या मिलता, और उसका क्या मतलब होता?

उत्तर:

• (a) 6x − 4y = 10 को 6x − 4y = 12 से घटाने पर 0 = 2 बचता है, जो असत्य कथन है। इसलिए कोई हल नहीं, युग्म असंगत है, और रेखाएँ समांतर हैं। अनुपातों से भी: 3/6 = −2/−4 = 1/2, पर 5/12 ≠ 1/2।
• (b) तब घटाने पर 0 = 0 बचता, जो सत्य कथन है। इसका मतलब अपरिमित रूप से अनेक हल: दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं, यानी रेखाएँ संपाती हैं और युग्म आश्रित।

(विलोपन विधि की ख़ास स्थितियाँ, पेज 40; सारणी 3.1, पेज 30।)

8. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

• हल को वापस रखिए। AI जो भी x और y दे, उन्हें दोनों समीकरणों में रखकर देखिए। एक में सही और दूसरे में गलत हो, तो हल गलत है।
• अनुपात खुद निकालिए। "कोई हल नहीं" या "अनेक हल" जैसे दावे को a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ से एक पंक्ति में जाँचा जा सकता है।
• विधि किताब वाली लिखिए। परीक्षा में प्रश्न जो विधि माँगे, उसी से हल कीजिए; AI ने कोई और तरीका दिया हो, तो भी।

AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

• ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 और "Pair of Linear Equations" चुनें।
• छापने लायक, उत्तर के साथ: Pair of Linear Equations की वर्कशीट।
• इसी किताब के और अध्याय हिंदी में: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ और अध्याय 4 द्विघात समीकरण।
• बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।

CMDLearn कहाँ फिट होता है

CMDLearn कक्षा 1 से 10 के लिए हिंदी, मराठी और अंग्रेज़ी में एक AI ट्यूटर बना रहा है, जो एक कदम समझाता है और बच्चे का काम जाँचता है, पर लिखना बच्चे पर छोड़ता है। यह अभी तैयार हो रहा है और अभी कोई बच्चा इसका इस्तेमाल नहीं करता। जब आज़माने को कुछ हो, तब ख़बर पाने के लिए वेटलिस्ट से जुड़ें।

स्रोत

सभी 4 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

• NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम, Reprint 2026-27), अध्याय 3 "दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म", पेज 28 से 43: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh103.pdf
• NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 3 (pair of linear equations): ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh103.pdf
• CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure और Unit II (पेज 3-4): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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