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कक्षा 10 गणित अध्याय 4 द्विघात समीकरण: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 3 नवंबर 2026

CMDLearn · 3 नवंबर 2026

NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का चौथा अध्याय "द्विघात समीकरण" है, पेज 44 से 55 तक। यह गाइड दो काम करती है:

• अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
• अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में यही अध्याय पढ़ना हो, तो Quadratic Equations, explained simply देखें।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। यह अध्याय इकाई II, "Algebra" (बीजगणित), का हिस्सा है, जिसके 20 अंक हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)। CBSE अध्याय-वार अंक नहीं देता।

पाठ्यक्रम इस अध्याय से तीन चीज़ें माँगता है (पेज 4):

• गुणनखंड विधि और द्विघाती सूत्र से मूल निकालना (केवल वास्तविक मूल);
• विविक्तकर से मूलों की प्रकृति बताना;
• रोज़ की स्थितियों से बने प्रश्नों को समीकरण बनाकर हल करना।

1. द्विघात समीकरण और उसका मानक रूप

चर x में द्विघात समीकरण वह है जिसे ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सके, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 (पेज 45)। a = 0 हो जाए, तो x² वाला पद ही गायब हो जाता है और समीकरण रैखिक रह जाता है।

पदों को घातों के घटते क्रम में लिखने पर जो रूप मिलता है, उसे मानक रूप कहते हैं (पेज 45)।

सावधानी: कोई समीकरण पहली नज़र में द्विघात लगे, तब भी दोनों पक्ष खोलकर सरल कीजिए। x² के पद आपस में कट जाएँ, तो वह द्विघात नहीं है। और कभी x³ वाला समीकरण सरल करने पर द्विघात निकल आता है (पेज 47-48)।

इतिहास की एक बात (पेज 44-45): किताब बताती है कि ब्रह्मगुप्त (सा.यु. 598-665) ने ax² + bx = c जैसे समीकरण का स्पष्ट सूत्र दिया, और बाद में श्रीधराचार्य (सा.यु. 1025) ने वह सूत्र दिया जिसे आज द्विघाती सूत्र कहते हैं।

2. मूल का अर्थ

कोई वास्तविक संख्या α समीकरण ax² + bx + c = 0 का मूल है, अगर x की जगह α रखने पर बायाँ पक्ष शून्य हो जाए (पेज 48)।

• द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक और द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल एक ही होते हैं।
• द्विघात समीकरण के अधिक से अधिक दो मूल होते हैं (पेज 49)।

हर उत्तर की जाँच: मूल निकालने के बाद उसे समीकरण में रखकर देखिए कि शून्य आता है या नहीं। यह आधा मिनट का काम है और गलती तुरंत पकड़ लेता है।

3. गुणनखंड विधि

कक्षा 9 में सीखी मध्य पद को विभक्त करने की विधि यहाँ काम आती है (पेज 49-50):

1. a × c निकालिए।
2. ऐसी दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका गुणनफल a × c हो और योग b।
3. मध्य पद bx को इन दो पदों में तोड़िए, फिर समूह बनाकर गुणनखंड लीजिए।
4. हर रैखिक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखिए।

हमारा उदाहरण: x² − 9x + 20 = 0। यहाँ a × c = 20, और −4 तथा −5 का गुणनफल 20 और योग −9 है। इसलिए (x − 4)(x − 5) = 0, यानी मूल 4 और 5।

शब्द-प्रश्नों में: लंबाई, आयु, संख्या या गति जैसी चीज़ ऋणात्मक नहीं हो सकती। दोनों मूल निकालकर लिखिए, फिर कारण बताकर ऋणात्मक मूल छोड़िए। किताब हॉल की चौड़ाई वाले उदाहरण में यही करती है (पेज 50-51)।

4. द्विघाती सूत्र और विविक्तकर

समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल द्विघाती सूत्र से मिलते हैं (पेज 51, 54):

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, जब b² − 4ac ≥ 0 हो।

b² − 4ac को समीकरण का विविक्तकर कहते हैं (पेज 52)। यही बताता है कि मूल कैसे होंगे:

हमारा उदाहरण: x² + 2x + 5 = 0 में विविक्तकर = 4 − 20 = −16, जो शून्य से कम है। इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं।

5. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

1. चिह्न की गलती। b ऋणात्मक हो, तो −b धनात्मक बनता है, और b² हमेशा धनात्मक होता है। a, b, c पहले अलग-अलग चिह्न के साथ लिख लीजिए।
2. समीकरण को मानक रूप में लाए बिना सूत्र लगाना। पहले सब पद एक ओर लाइए, ताकि दूसरी ओर 0 रहे।
3. शब्द-प्रश्न में ऋणात्मक मूल को उत्तर मान लेना। स्थिति के हिसाब से कौन-सा मूल मान्य है, यह एक वाक्य में लिखिए।

6. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के अभ्यास-प्रश्न नहीं।

प्रश्न 1. सरल करके बताइए कि कौन-सा समीकरण द्विघात है: (a) (x − 4)(x + 1) = (x + 2)(x − 3); (b) (2x + 1)² = x(x + 7)।

उत्तर:

• (a) बायाँ पक्ष x² − 3x − 4 और दायाँ पक्ष x² − x − 6। x² कट जाते हैं और −2x + 2 = 0 बचता है। यह द्विघात नहीं है।
• (b) बायाँ पक्ष 4x² + 4x + 1 और दायाँ पक्ष x² + 7x। एक ओर लाने पर 3x² − 3x + 1 = 0, जिसमें a = 3 ≠ 0। यह द्विघात है।

(मानक रूप और सरल करना, पेज 45-48।)

प्रश्न 2. स्कूल के आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल 391 वर्ग मीटर है, और उसकी लंबाई चौड़ाई से 6 मीटर अधिक है। समीकरण बनाइए और बगीचे की लंबाई-चौड़ाई निकालिए।

उत्तर: चौड़ाई 17 m, लंबाई 23 m।

1. चौड़ाई x m मानिए, तो लंबाई (x + 6) m। इसलिए x(x + 6) = 391, यानी x² + 6x − 391 = 0।
2. a × c = −391। 23 और −17 का गुणनफल −391 और योग 6 है। इसलिए (x + 23)(x − 17) = 0।
3. x = 17 या x = −23। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x = 17।

जाँच: 17 × 23 = 391। (गुणनखंड विधि, पेज 49-51।)

प्रश्न 3. गुणनखंड विधि से 5x² − 13x + 6 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 2 और 3/5।

• a × c = 30। −10 और −3 का गुणनफल 30 और योग −13 है।
• 5x² − 10x − 3x + 6 = 5x(x − 2) − 3(x − 2) = (5x − 3)(x − 2)।
• इसलिए x = 2 या x = 3/5।

जाँच: x = 2 पर 20 − 26 + 6 = 0। (पेज 49।)

प्रश्न 4. 9x² − 12x + 4 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए। इसके मूलों में क्या खास बात है?

उत्तर: दोनों मूल 2/3।

• 9x² − 12x + 4 = (3x − 2)², इसलिए 3x − 2 = 0, यानी x = 2/3, और यह मूल दो बार आता है।
• विविक्तकर से जाँच: (−12)² − 4 × 9 × 4 = 144 − 144 = 0। शून्य विविक्तकर का मतलब दो बराबर वास्तविक मूल, −b/2a = 12/18 = 2/3।

(पेज 50, 52।)

प्रश्न 5. विविक्तकर से मूलों की प्रकृति बताइए; मूल वास्तविक हों तो निकालिए: (a) x² + 4x + 7 = 0; (b) 2x² + 5x − 3 = 0।

उत्तर:

• (a) विविक्तकर = 16 − 28 = −12, शून्य से कम। कोई वास्तविक मूल नहीं।
• (b) विविक्तकर = 25 + 24 = 49, शून्य से अधिक। दो भिन्न वास्तविक मूल। सूत्र से x = (−5 ± 7)/4, यानी x = 1/2 या x = −3।

(द्विघाती सूत्र और विविक्तकर, पेज 51-52।)

प्रश्न 6. k के किन मानों के लिए समीकरण x² − kx + 16 = 0 के दो बराबर मूल होंगे? हर स्थिति में वह मूल भी बताइए।

उत्तर: k = 8 या k = −8।

• बराबर मूलों के लिए विविक्तकर = 0: k² − 4 × 1 × 16 = 0, यानी k² = 64।
• k = 8 पर समीकरण (x − 4)² = 0, मूल 4। k = −8 पर (x + 4)² = 0, मूल −4।

(पेज 52।)

प्रश्न 7. कक्षा 10 के बच्चों के समूह ने ₹360 की कॉपियाँ खरीदीं। अगर हर कॉपी ₹2 सस्ती होती, तो उतने ही पैसों में 6 कॉपियाँ अधिक आतीं। एक कॉपी का दाम और खरीदी गई कॉपियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एक कॉपी ₹12, और 30 कॉपियाँ।

1. दाम ₹x मानिए। तब 360/(x − 2) − 360/x = 6।
2. दोनों ओर x(x − 2) से गुणा करने पर 360 × 2 = 6x(x − 2), यानी 120 = x² − 2x, यानी x² − 2x − 120 = 0।
3. (x − 12)(x + 10) = 0, इसलिए x = 12 (दाम ऋणात्मक नहीं हो सकता)।

जाँच: 360 ÷ 12 = 30 कॉपियाँ; ₹10 के दाम पर 360 ÷ 10 = 36, यानी 6 अधिक। (रोज़ की स्थितियों वाले प्रश्न, पेज 46-51।)

प्रश्न 8. एक किचन-गार्डन आयताकार बनाना है, जिसका परिमाप 30 m हो। (a) क्या उसका क्षेत्रफल 60 m² हो सकता है? (b) क्षेत्रफल 54 m² हो, तो लंबाई-चौड़ाई क्या होगी?

उत्तर:

• परिमाप 30 m है, इसलिए लंबाई + चौड़ाई = 15 m। चौड़ाई x m हो, तो लंबाई (15 − x) m।
• (a) x(15 − x) = 60, यानी x² − 15x + 60 = 0। विविक्तकर = 225 − 240 = −15, शून्य से कम। संभव नहीं।
• (b) x(15 − x) = 54, यानी x² − 15x + 54 = 0, यानी (x − 6)(x − 9) = 0। लंबाई 9 m, चौड़ाई 6 m। जाँच: 9 × 6 = 54 और 2(9 + 6) = 30।

(विविक्तकर से "संभव है या नहीं", पेज 52।)

7. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

• मूल को वापस रखिए। AI जो भी मूल दे, उसे समीकरण में रखकर देखिए कि शून्य आता है या नहीं।
• विविक्तकर खुद निकालिए। "कोई वास्तविक मूल नहीं" या "दो बराबर मूल" जैसे दावे को b² − 4ac से एक पंक्ति में जाँचा जा सकता है।
• ऋणात्मक मूल पर कारण माँगिए। शब्द-प्रश्न में AI ने कोई मूल छोड़ा या रखा हो, तो पूछिए कि क्यों।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के और अभ्यास-प्रश्न: Class 10 Quadratic Equations, practice questions with answers। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

• ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 और "Quadratic Equations (board practice)" चुनें।
• छापने लायक, उत्तर के साथ: Quadratic Equations की वर्कशीट।
• बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।

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स्रोत

सभी 3 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

• NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम), अध्याय 4 "द्विघात समीकरण", पेज 44 से 55: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh104.pdf
• NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 4 "Quadratic Equations": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh104.pdf
• CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure और Unit II (पेज 3-4): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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