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कक्षा 10 गणित अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 3 नवंबर 2026

CMDLearn · 3 नवंबर 2026

NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का पहला अध्याय "वास्तविक संख्याएँ" है, पेज 1 से 12 तक। यह गाइड दो काम करती है:

• अध्याय के दो बड़े विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
• अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, पूरे हल के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में यही अध्याय पढ़ना हो, तो Real Numbers, explained simply देखें।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। यह अध्याय अकेले इकाई I, "Number Systems" (संख्या पद्धति), बनाता है, जिसके 6 अंक हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)।

पाठ्यक्रम में इस इकाई के दो हिस्से हैं:

• अंकगणित की आधारभूत प्रमेय;
• √2, √3 और √5 जैसी संख्याओं के अपरिमेय होने की उपपत्ति।

1. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

प्रमेय 1.1 (पेज 4) कहती है:

• हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है;
• यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है, यानी अभाज्य गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर एक ही तरह से होता है।

उदाहरण (हमारा):

3780 = 2 × 1890 = 2 × 2 × 945 = 2 × 2 × 3 × 315 = 2 × 2 × 3 × 3 × 105 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 35 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7

घातों में: 3780 = 2² × 3³ × 5 × 7। आप किसी भी गुणनखंड से शुरू करें, अंत में यही अभाज्य संख्याएँ मिलेंगी। किताब आरोही क्रम में लिखने की बात करती है: छोटे अभाज्य पहले (पेज 5)।

किताब यह भी बताती है कि इस प्रमेय की पहली सही उपपत्ति कार्ल फ्रैड्रिक गॉस (1777-1855) ने दी थी (पेज 4)।

अद्वितीयता का एक उपयोग: संख्या 0 पर कब समाप्त होगी?

कोई संख्या 0 पर तभी समाप्त होती है, जब वह 10 = 2 × 5 से विभाज्य हो। इसलिए उसके अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 5 दोनों होने चाहिए।

गुणनखंडन अद्वितीय है, इसलिए जिस संख्या के गुणनखंडन में 5 नहीं है, उसमें 5 "छिपा" नहीं हो सकता। किताब इसी विचार को उदाहरण 1 में एक घात पर लगाती है (पेज 5)।

2. HCF और LCM, अभाज्य गुणनखंडन विधि से

दोनों संख्याओं को अभाज्य संख्याओं की घातों में लिखिए। फिर (पेज 5-6):

• HCF = हर उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल।
• LCM = संख्याओं में आए हर अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।

दो संख्याओं के लिए नियम: HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल। यह नियम तीन संख्याओं पर लागू नहीं होता (पेज 12, "पाठकों के लिए विशेष")।

शब्द-प्रश्नों में पहचान:

• "सबसे बड़ा बराबर टुकड़ा", "सबसे बड़ी टाइल", "बराबर समूह": इनमें ऐसी संख्या चाहिए जो सबमें पूरी बँट जाए, यानी HCF।
• "फिर साथ कब", "एक साथ कब बजेंगी/चलेंगी": इनमें ऐसी संख्या चाहिए जिसमें सब पूरे बँटें, यानी LCM।

3. अपरिमेय संख्याएँ और उनकी उपपत्ति

कोई संख्या अपरिमेय है, अगर उसे p/q के रूप में न लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q ≠ 0 (पेज 7)।

प्रमेय 1.2 (पेज 8): अगर एक अभाज्य संख्या p किसी संख्या a² को विभाजित करती है, तो p संख्या a को भी विभाजित करेगी। (किताब इसकी उपपत्ति पर निशान लगाकर लिखती है कि यह उपपत्ति परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।) फिर भी √2 वाली उपपत्ति में इस प्रमेय का प्रयोग होता है, इसलिए कथन याद रखें।

√2 अपरिमेय है: विरोधोक्ति द्वारा उपपत्ति (प्रमेय 1.3, पेज 8-9), कदम-दर-कदम, अपने शब्दों में:

1. मान लीजिए √2 परिमेय है, यानी √2 = a/b, जहाँ a और b सहअभाज्य पूर्णांक हैं (1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं) और b ≠ 0।
2. वर्ग करने पर 2b² = a²। यानी 2, a² को विभाजित करता है, इसलिए प्रमेय 1.2 से 2, a को भी विभाजित करता है। मान लीजिए a = 2c।
3. रखने पर 2b² = 4c², यानी b² = 2c²। इसलिए 2, b² को विभाजित करता है, और इसलिए b को भी।
4. अब 2, a और b दोनों का गुणनखंड है। यह कदम 1 की "सहअभाज्य" वाली बात के विपरीत है, यानी विरोधाभास प्राप्त होता है।
5. इसलिए हमारी मान्यता गलत थी, और √2 अपरिमेय है।

परिमेय + अपरिमेय वाले प्रश्न (जैसे a + b√3 अपरिमेय है, सिद्ध करें) में पूरी उपपत्ति दोबारा नहीं करते:

1. संख्या को परिमेय मानिए।
2. √3 को अकेला कीजिए।
3. दिखाइए कि √3 तब परिमेय निकलेगा, जो दिए गए तथ्य के विपरीत है।

नीचे प्रश्न 7 में इसका पूरा हल है।

4. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

1. HCF × LCM = गुणनफल को तीन संख्याओं पर लगाना। यह केवल दो संख्याओं के लिए है।
2. उपपत्ति में शब्द छोड़ देना। "a और b सहअभाज्य हैं", "b ≠ 0" और "इससे विरोधाभास प्राप्त होता है" जैसे वाक्यों पर ही अंक मिलते हैं।
3. गुणनखंडन में कोई भाज्य गुणनखंड बचा रह जाना। अंत में हर गुणनखंड अभाज्य होना चाहिए। जाँच के लिए वापस गुणा कीजिए।

5. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब की प्रश्नावली के नहीं।

प्रश्न 1. 3780 का अभाज्य गुणनखंडन घातों के रूप में लिखिए, और गुणा करके उसकी जाँच कीजिए।

उत्तर: 3780 = 2² × 3³ × 5 × 7। जाँच: 4 × 27 = 108, 108 × 5 = 540, और 540 × 7 = 3780। हर गुणनखंड (2, 3, 5, 7) अभाज्य है। (पेज 4-5।)

प्रश्न 2. अभाज्य गुणनखंडन विधि से 90 और 144 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए। जाँच कीजिए कि HCF × LCM दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

उत्तर: HCF = 18, LCM = 720।

1. 90 = 2 × 3² × 5 और 144 = 2⁴ × 3²।
2. उभयनिष्ठ अभाज्य 2 और 3 हैं। उनकी सबसे छोटी घातें 2¹ और 3² हैं, तो HCF = 2 × 9 = 18।
3. हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात 2⁴, 3² और 5 है, तो LCM = 16 × 9 × 5 = 720।

जाँच: 18 × 720 = 12,960 और 90 × 144 = 12,960। (पेज 5-6।)

प्रश्न 3. दर्ज़ी के पास तीन रंगों के रिबन हैं: 72 cm, 120 cm और 168 cm लंबे। वह तीनों को बिना कुछ बचाए बराबर लंबाई के सबसे लंबे टुकड़ों में काटना चाहता है। हर टुकड़ा कितना लंबा होगा, और कुल कितने टुकड़े बनेंगे?

उत्तर: 24 cm के 15 टुकड़े।

1. टुकड़े की लंबाई तीनों लंबाइयों में पूरी बँटनी चाहिए, और सबसे बड़ी होनी चाहिए, इसलिए यह HCF है।
2. 72 = 2³ × 3², 120 = 2³ × 3 × 5 और 168 = 2³ × 3 × 7।
3. HCF = 2³ × 3 = 24 cm।
4. टुकड़े: 72 ÷ 24 = 3, 120 ÷ 24 = 5, 168 ÷ 24 = 7, कुल 15।

प्रश्न 4. एक बस अड्डे से तीन रूटों की बसें हर 15, 20 और 30 मिनट पर चलती हैं। सुबह 7:00 बजे तीनों एक साथ चलीं। अगली बार तीनों एक साथ कब चलेंगी?

उत्तर: सुबह 8:00 बजे।

1. यहाँ ऐसा समय चाहिए जिसमें 15, 20 और 30 तीनों पूरे बँटें, इसलिए यह LCM है।
2. 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5 और 30 = 2 × 3 × 5।
3. LCM = 2² × 3 × 5 = 60 मिनट, यानी 7:00 के एक घंटे बाद।

प्रश्न 5. दो संख्याओं का गुणनफल 2160 है और उनका LCM 360 है। उनका HCF क्या है? ऐसी संख्याओं की एक जोड़ी भी बताइए।

उत्तर: HCF = 6; एक जोड़ी 24 और 90 है।

• दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = गुणनफल, इसलिए HCF = 2160 ÷ 360 = 6।
• जोड़ी की जाँच: 24 × 90 = 2160, HCF (24, 90) = 6 और LCM (24, 90) = 360। (पेज 6।)

प्रश्न 6. बिना गुणा किए बताइए: 2³ × 5² × 7 के अंत में कितने शून्य होंगे? फिर गुणा करके जाँचिए।

उत्तर: दो शून्य।

• हर शून्य के लिए एक 10 = 2 × 5 चाहिए।
• यहाँ तीन 2 और दो 5 हैं, इसलिए केवल दो जोड़ियाँ बनती हैं, यानी दो शून्य।
• जाँच: 8 × 25 = 200 और 200 × 7 = 1400। (अद्वितीयता का विचार, पेज 5।)

प्रश्न 7. दिया है कि √3 अपरिमेय है। सिद्ध कीजिए कि 7 − 2√3 अपरिमेय है।

उत्तर:

1. मान लीजिए 7 − 2√3 परिमेय है, यानी 7 − 2√3 = a/b, जहाँ a, b पूर्णांक हैं और b ≠ 0।
2. तब 2√3 = 7 − a/b = (7b − a)/b, इसलिए √3 = (7b − a)/(2b)।
3. a और b पूर्णांक हैं, इसलिए (7b − a)/(2b) परिमेय है। इसका मतलब √3 परिमेय होगा।
4. यह दिए गए तथ्य के विपरीत है कि √3 अपरिमेय है, यानी विरोधाभास प्राप्त होता है। इसलिए हमारी मान्यता गलत थी, और 7 − 2√3 अपरिमेय है।

(विरोधोक्ति द्वारा उपपत्ति, पेज 8-10।)

प्रश्न 8. मीना कहती है: "दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है।" √2 की मदद से दिखाइए कि यह बात गलत है।

उत्तर: √2 और 5 − √2 लीजिए।

• दोनों अपरिमेय हैं। 5 − √2 के लिए प्रश्न 7 वाला तरीका लगाइए: अगर वह परिमेय होता, तो √2 = 5 − (परिमेय) भी परिमेय होता।
• पर उनका योग √2 + (5 − √2) = 5 है, जो परिमेय है।

इसलिए दो अपरिमेय संख्याओं का योग परिमेय भी हो सकता है, और मीना की बात गलत है।

6. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

• गुणनखंडन को वापस गुणा कीजिए। AI कहे 3780 = 2² × 3³ × 5 × 7, तो गुणा करके देखिए, और जाँचिए कि हर गुणनखंड अभाज्य है।
• HCF और LCM जाँचिए। HCF दोनों संख्याओं को पूरा विभाजित करे, और LCM दोनों से पूरा विभाजित हो। दो संख्याओं के लिए HCF × LCM उनके गुणनफल के बराबर हो।
• उपपत्ति में हर कदम का कारण माँगिए। "यह किस प्रमेय से आया?" पूछिए। जिस कदम का कारण न हो, वह उपपत्ति अधूरी है।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के और अभ्यास-प्रश्न: Class 10 Real Numbers, questions with answers। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

• ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 और "Real Numbers (board practice)" चुनें।
• छापने लायक, हिंदी में भी, उत्तर के साथ: Real Numbers की वर्कशीट।
• बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।

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स्रोत

सभी 3 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

• NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम), अध्याय 1 "वास्तविक संख्याएँ", पेज 1 से 12: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh101.pdf
• NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 1 "Real Numbers": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh101.pdf
• CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure (पेज 3): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय की प्रमेय, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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