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कक्षा 10 गणित अध्याय 2 बहुपद: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 4 नवंबर 2026

NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का दूसरा अध्याय "बहुपद" है, पेज 13 से 27 तक। यह गाइड दो काम करती है:

• अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
• अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 10 Polynomials, practice questions with answers।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। यह अध्याय इकाई II, "Algebra" (बीजगणित), का हिस्सा है, जिसके 20 अंक हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)। CBSE अध्याय-वार अंक नहीं देता।

पाठ्यक्रम इस अध्याय से दो चीज़ें माँगता है (पेज 3):

• बहुपद के शून्यक;
• द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध।

किताब की एक टिप्पणी भी याद रखें: द्विघात या त्रिघात बहुपदों के ग्राफ खींचना विद्यार्थियों से अपेक्षित नहीं है, और उनका मूल्यांकन नहीं होता (पेज 15)। ग्राफ पढ़ना आना चाहिए, खींचना नहीं।

1. बहुपद और उसकी घात

बहुपद p(x) में x की सबसे बड़ी घात को बहुपद की घात कहते हैं (पेज 13)। घात के हिसाब से नाम:

(पेज 13-14)। जिस व्यंजक में चर हर में हो या वर्गमूल के अंदर हो, जैसे 1/(x + 2) या √x + 1, वह बहुपद नहीं है (पेज 13)।

सावधानी: घात बताने से पहले व्यंजक को खोलकर सरल कीजिए। (x + 1)² − x² दिखने में द्विघात लगता है, पर सरल करने पर 2x + 1 बचता है, जो रैखिक है।

2. बहुपद का मान और शून्यक

• p(x) में x की जगह कोई वास्तविक संख्या k रखने पर जो संख्या मिलती है, वह x = k पर p(x) का मान है, जिसे p(k) लिखते हैं (पेज 14)।
• अगर p(k) = 0 हो, तो k को p(x) का शून्यक कहते हैं (पेज 14)।
• रैखिक बहुपद ax + b का शून्यक −b/a है, यानी −(अचर पद) ÷ (x का गुणांक) (पेज 14)।

हमारा उदाहरण: p(x) = 4x − 10 का शून्यक 10/4 = 5/2 है, क्योंकि p(5/2) = 10 − 10 = 0।

3. शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

• y = ax + b का ग्राफ एक सरल रेखा है, जो x-अक्ष को ठीक एक बिंदु (−b/a, 0) पर काटती है। इसलिए रैखिक बहुपद का एक ही शून्यक होता है (पेज 15)।
• y = ax² + bx + c का ग्राफ परवलय होता है: a > 0 हो तो ऊपर की ओर खुला, a < 0 हो तो नीचे की ओर खुला (पेज 16)।
• शून्यक = वे x-निर्देशांक, जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। द्विघात बहुपद के लिए तीन स्थितियाँ हो सकती हैं (पेज 17-18): दो भिन्न शून्यक, दो बराबर शून्यक (यानी एक शून्यक), या कोई शून्यक नहीं।
• त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक 3 शून्यक होते हैं, और व्यापक रूप में घात n वाले बहुपद के अधिक से अधिक n शून्यक (पेज 20)।

4. शून्यकों और गुणांकों में संबंध

अगर द्विघात बहुपद ax² + bx + c (a ≠ 0) के शून्यक α और β हों, तो (पेज 22-23):

उल्टा भी काम करता है: योग S और गुणनफल P दिए हों, तो x² − Sx + P एक ऐसा द्विघात बहुपद है, और बाकी सब इसके k गुना होते हैं (पेज 24)।

हमारा उदाहरण: x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4), शून्यक 2 और 4। योग 6 = −(−6)/1 और गुणनफल 8 = 8/1।

त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β, γ हों, तो α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a और αβγ = −d/a (पेज 24-27)। किताब इसके उदाहरण को परीक्षा की दृष्टि से नहीं मानती (पेज 25), पर ये सूत्र सारांश में हैं।

5. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

1. योग का चिह्न। योग −b/a है, b/a नहीं। x² − 7x + 10 में b = −7, इसलिए योग +7 है।
2. बहुपद को मानक रूप में लाए बिना a, b, c पढ़ना। 6 − x + 2x² जैसे बहुपद को पहले 2x² − x + 6 लिखिए, फिर a = 2, b = −1, c = 6।
3. "शून्यक" और "मान" को मिला देना। p(3) = 0 हो तो 3 शून्यक है; p(3) = 5 हो तो 5 सिर्फ़ मान है, शून्यक नहीं।

6. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के उदाहरण या अभ्यास-प्रश्न नहीं।

प्रश्न 1. इनमें से कौन-से बहुपद हैं? जो बहुपद हैं, उनकी घात और नाम (रैखिक, द्विघात, त्रिघात) बताइए: (a) 4 − 5x; (b) 3y² + y − 6; (c) 1/(x + 2); (d) x(x² − 1); (e) √x + 1; (f) (x + 1)² − x²।

उत्तर:

• (a) घात 1, रैखिक।
• (b) घात 2, द्विघात।
• (c) बहुपद नहीं, क्योंकि चर हर में है।
• (d) x³ − x, घात 3, त्रिघात।
• (e) बहुपद नहीं, क्योंकि x वर्गमूल के अंदर है।
• (f) सरल करने पर 2x + 1, घात 1, रैखिक।

(घात और नाम, पेज 13-14।)

प्रश्न 2. p(x) = 2x² − 5x + 3 है। (a) p(0), p(1), p(2) और p(−1) निकालिए। (b) इनमें से कौन-सी संख्या p(x) का शून्यक है? (c) गुणनफल वाले संबंध से दूसरा शून्यक निकालिए।

उत्तर: (a) 3, 0, 1, 10; (b) 1; (c) 3/2।

• (a) p(0) = 3; p(1) = 2 − 5 + 3 = 0; p(2) = 8 − 10 + 3 = 1; p(−1) = 2 + 5 + 3 = 10।
• (b) केवल p(1) = 0 है, इसलिए 1 शून्यक है। बाकी संख्याएँ सिर्फ़ मान हैं।
• (c) शून्यकों का गुणनफल = c/a = 3/2। एक शून्यक 1 है, इसलिए दूसरा 3/2। जाँच: योग 1 + 3/2 = 5/2 = −(−5)/2। ✓

(मान और शून्यक, पेज 14; संबंध, पेज 22-23।)

प्रश्न 3. (a) 3x − 12 और 5x + 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (b) y = 3x − 12 का ग्राफ x-अक्ष को किस बिंदु पर काटेगा?

उत्तर: (a) 4 और −2/5; (b) (4, 0)।

• (a) शून्यक = −b/a: 3x − 12 के लिए 12/3 = 4; 5x + 2 के लिए −2/5।
• (b) रैखिक बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को उसके शून्यक पर काटता है, यानी बिंदु (4, 0) पर।

(पेज 14-15।)

प्रश्न 4. नीचे की सारणी बहुपद y = x² − 2x − 3 के कुछ मान देती है:

(a) सारणी से शून्यक बताइए। (b) इसका ग्राफ ऊपर की ओर खुला होगा या नीचे की ओर, और क्यों? (c) घात 4 वाले बहुपद के अधिक से अधिक कितने शून्यक हो सकते हैं?

उत्तर: (a) −1 और 3; (b) ऊपर की ओर, क्योंकि a = 1 > 0; (c) 4।

• (a) जहाँ y = 0 है, वहीं ग्राफ x-अक्ष को काटता है: x = −1 और x = 3। जाँच: x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3)।
• (b) x² का गुणांक धनात्मक है, इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है (पेज 16)।
• (c) घात n वाले बहुपद के अधिक से अधिक n शून्यक होते हैं (पेज 20)।

प्रश्न 5. शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के संबंध की जाँच कीजिए: (a) x² − 9x + 14; (b) 2x² + x − 6।

उत्तर: (a) 2 और 7; (b) 3/2 और −2।

• (a) x² − 9x + 14 = (x − 2)(x − 7)। योग 2 + 7 = 9 = −(−9)/1 ✓; गुणनफल 2 × 7 = 14 = 14/1 ✓।
• (b) a × c = −12। 4 और −3 का गुणनफल −12 और योग 1 है: 2x² + 4x − 3x − 6 = 2x(x + 2) − 3(x + 2) = (2x − 3)(x + 2)। शून्यक 3/2 और −2। योग 3/2 − 2 = −1/2 = −1/2 ✓; गुणनफल (3/2)(−2) = −3 = −6/2 ✓।

(पेज 22-23।)

प्रश्न 6. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः ये हों: (a) 5 और 6; (b) 2/3 और −1/3। हर स्थिति में शून्यक भी निकालिए।

उत्तर: (a) x² − 5x + 6, शून्यक 2 और 3; (b) 3x² − 2x − 1, शून्यक 1 और −1/3।

• (a) x² − (योग)x + गुणनफल = x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)।
• (b) x² − (2/3)x − 1/3। भिन्न हटाने के लिए 3 से गुणा करें: 3x² − 2x − 1 = (3x + 1)(x − 1)। जाँच: योग 1 − 1/3 = 2/3 ✓, गुणनफल −1/3 ✓।
• ऐसा हर बहुपद इनका k गुना होगा, जहाँ k कोई वास्तविक संख्या है (पेज 24)।

प्रश्न 7. (a) बहुपद x² − kx + 12 का एक शून्यक 3 है। दूसरा शून्यक और k ज्ञात कीजिए। (b) x² + px + q के शून्यक 4 और −5 हैं। p और q ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (a) दूसरा शून्यक 4, k = 7; (b) p = 1, q = −20।

• (a) गुणनफल = 12/1 = 12, इसलिए दूसरा शून्यक 12 ÷ 3 = 4। योग = −(−k)/1 = k, इसलिए k = 3 + 4 = 7। जाँच: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)।
• (b) योग 4 + (−5) = −1 = −p, इसलिए p = 1। गुणनफल 4 × (−5) = −20 = q।

(पेज 22-23।)

प्रश्न 8. (किताब त्रिघात वाले उदाहरण को परीक्षा की दृष्टि से नहीं मानती, पेज 25; यह प्रश्न अभ्यास के लिए है।) जाँच कीजिए कि 1, 2 और −3 बहुपद x³ − 7x + 6 के शून्यक हैं। फिर शून्यकों और गुणांकों के तीनों संबंधों की जाँच कीजिए।

उत्तर: तीनों शून्यक हैं, और तीनों संबंध सही बैठते हैं।

• यहाँ a = 1, b = 0 (x² का पद नहीं है), c = −7, d = 6।
• p(1) = 1 − 7 + 6 = 0; p(2) = 8 − 14 + 6 = 0; p(−3) = −27 + 21 + 6 = 0।
• योग: 1 + 2 + (−3) = 0 = −b/a ✓।
• दो-दो के गुणनफलों का योग: 1 × 2 + 2 × (−3) + (−3) × 1 = 2 − 6 − 3 = −7 = c/a ✓।
• तीनों का गुणनफल: 1 × 2 × (−3) = −6 = −d/a ✓।

(त्रिघात बहुपद के संबंध, पेज 24-27।)

7. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

• शून्यक को वापस रखिए। AI जो भी शून्यक दे, उसे बहुपद में रखकर देखिए कि मान शून्य आता है या नहीं।
• योग और गुणनफल से जाँचिए। दो शून्यक मिले हों, तो उनका योग −b/a और गुणनफल c/a से मिलाइए; एक पंक्ति का काम है।
• चिह्न पर नज़र रखिए। AI अक्सर योग को b/a लिख देता है। ऊपर की पहली गलती याद रखें।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के अभ्यास-प्रश्न: Class 10 Polynomials, practice questions with answers। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

• इसी किताब के दूसरे अध्याय, हिंदी में: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ और अध्याय 4 द्विघात समीकरण।
• ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 और "Polynomials (board practice)" चुनें।
• छापने लायक, उत्तर के साथ: Polynomials की वर्कशीट।
• बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।

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स्रोत

सभी 4 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

• NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम), अध्याय 2 "बहुपद", पेज 13 से 27: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh102.pdf
• NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 2 "Polynomials": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh102.pdf
• CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure और Unit II (पेज 3): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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