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कक्षा 10 गणित अध्याय 13 सांख्यिकी: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 5 नवंबर 2026

इस गाइड की हिंदी की समीक्षा किसी हिंदी भाषी शिक्षक ने अभी नहीं की है (translation - review pending)।

कक्षा 10 की NCERT गणित पाठ्यपुस्तक (Reprint 2026-27) का अध्याय 13 "सांख्यिकी" है, पेज 190 से 222 तक। अंग्रेज़ी किताब में इसी अध्याय का नाम "Statistics" है। यह गाइड दो काम करती है:

• अध्याय के तीनों मापक, यानी माध्य, बहुलक और माध्यक, वर्गीकृत आँकड़ों के लिए छोटे नोट्स में समझाती है;
• अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

एक बात ध्यान रखें: पुरानी किताब में सांख्यिकी अध्याय 14 था, इसलिए इंटरनेट पर "प्रश्नावली 14.1 से 14.4" वाले हल पुराने क्रम के हैं। उनमें "तोरण (ogive) खींचिए" वाली प्रश्नावली भी है, जो अब की किताब में नहीं है। अब की किताब में प्रश्नावली 13.1, 13.2 और 13.3 ही हैं।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 10 Statistics, 8 practice questions with answers।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। इकाई VII, "Statistics and Probability" (सांख्यिकी और प्रायिकता), के 11 अंक हैं; इसमें यह अध्याय और प्रायिकता, दोनों आते हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)। पाठ्यक्रम वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक माँगता है, और माध्य की तीनों विधियाँ (प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य और पग-विचलन) गिनाता है। दो बहुलक वाले (बहुबहुलकीय) आँकड़े इसमें नहीं पूछे जाते (पेज 7)।

1. वर्ग चिह्न: हर वर्ग का प्रतिनिधि

वर्गीकृत आँकड़ों में हम हर प्रेक्षण नहीं जानते, केवल यह जानते हैं कि किस वर्ग अंतराल में कितने प्रेक्षण हैं। किताब मानती है कि हर वर्ग की बारंबारता उसके मध्य-बिंदु के आसपास केंद्रित है। इस मध्य-बिंदु को वर्ग चिह्न कहते हैं (पेज 193):

वर्ग चिह्न = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

हमारा उदाहरण: वर्ग 35-45 का वर्ग चिह्न (35 + 45) ÷ 2 = 40 है।

एक परंपरा याद रखिए: कोई प्रेक्षण किसी वर्ग की उपरि सीमा के ठीक बराबर हो, तो वह अगले वर्ग में गिना जाता है। जैसे 40 अंक वाला विद्यार्थी 25-40 में नहीं, 40-55 में जाता है (पेज 192)।

2. माध्य की तीन विधियाँ

तीनों विधियों से माध्य एक ही आता है (पेज 197); अंतर केवल हिसाब की सुविधा का है।

यहाँ xᵢ वर्ग चिह्न है और a कल्पित माध्य, जो प्रायः बीच वाले किसी वर्ग चिह्न को चुना जाता है।

हमारा उदाहरण: 0-10 में 2, 10-20 में 5 और 20-30 में 3 प्रेक्षण हैं। वर्ग चिह्न 5, 15, 25; Σfx = 10 + 75 + 75 = 160 और Σf = 10, इसलिए माध्य = 16।

3. वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक

जिस वर्ग की बारंबारता सबसे अधिक हो, वह बहुलक वर्ग है। बहुलक उसी वर्ग के अंदर का एक मान है (पेज 204):

बहुलक = l + [(f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)] × h

• l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा, h = वर्ग माप;
• f₁ = बहुलक वर्ग की बारंबारता;
• f₀ = उससे ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता, f₂ = उसके ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता।

हमारा उदाहरण: बहुलक वर्ग 40-50 है, f₁ = 18, f₀ = 12, f₂ = 12, h = 10। बहुलक = 40 + [6 ÷ (36 − 24)] × 10 = 40 + 5 = 45।

4. संचयी बारंबारता और माध्यक

किसी वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) उस वर्ग और उससे पहले के सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग है (पेज 212)। "10 से कम, 20 से कम, ..." वाली सारणी कम प्रकार का संचयी बारंबारता बंटन है, और "10 या अधिक, 20 या अधिक, ..." वाली अधिक प्रकार का (पेज 212-213)।

माध्यक निकालने के तीन कदम (पेज 214):

1. n (कुल बारंबारता) और n/2 निकालिए।
2. वह वर्ग ढूँढिए जिसकी संचयी बारंबारता n/2 से अधिक और उसके सबसे पास हो: यही माध्यक वर्ग है।
3. सूत्र लगाइए: माध्यक = l + [(n/2 − cf) ÷ f] × h, जहाँ cf = माध्यक वर्ग के पिछले वर्ग तक की संचयी बारंबारता और f = माध्यक वर्ग की बारंबारता।

हमारा उदाहरण: n = 40, n/2 = 20। माध्यक वर्ग 30-40 है, उससे पहले की cf = 14, f = 12, h = 10। माध्यक = 30 + (6 ÷ 12) × 10 = 35।

5. तीनों मापकों का संबंध, और कौन-सा कब

किताब तीनों मापकों में एक आनुभाविक संबंध देती है (पेज 218):

3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य

कौन-सा मापक कब ठीक है (पेज 218):

• माध्य: सभी प्रेक्षणों पर टिका है, दो समूहों की तुलना के लिए अच्छा; पर बहुत बड़े या बहुत छोटे (चरम) मान इसे खींच लेते हैं।
• माध्यक: जब चरम मान हों और एक "प्रतीकात्मक" (बीच वाला) मान चाहिए, जैसे मज़दूरी।
• बहुलक: जब सबसे अधिक बार आने वाला या सबसे लोकप्रिय मान चाहिए।

6. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

1. f₀ और f₂ गलत वर्गों से लेना। ये बहुलक वर्ग के ठीक पड़ोसी वर्गों की बारंबारताएँ हैं, दूसरे सबसे बड़े वर्ग की नहीं।
2. माध्यक के सूत्र में गलत cf। cf माध्यक वर्ग की अपनी संचयी बारंबारता नहीं, उससे पहले वाले वर्ग की है; और f माध्यक वर्ग की सादी बारंबारता है।
3. असतत वर्गों को वैसे ही लेना। 10-19, 20-29 जैसे वर्गों में एक-एक वर्ग के बीच खाली जगह है। किताब कहती है कि बहुलक और माध्यक के सूत्र से पहले वर्ग अंतराल सतत होने चाहिए (पेज 222), इसलिए इन्हें 9.5-19.5, 19.5-29.5 बनाइए; नहीं तो l गलत आएगा।

7. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के उदाहरण या प्रश्नावली के प्रश्न नहीं।

प्रश्न 1. 25 विद्यार्थी रोज़ साइकिल से इतनी दूरी (किलोमीटर में) तय करते हैं: 0-4 में 3, 4-8 में 6, 8-12 में 9, 12-16 में 5 और 16-20 में 2 विद्यार्थी। प्रत्यक्ष विधि से माध्य दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 9.52 किलोमीटर। वर्ग चिह्न 2, 6, 10, 14, 18 हैं। Σfx = 3 × 2 + 6 × 6 + 9 × 10 + 5 × 14 + 2 × 18 = 6 + 36 + 90 + 70 + 36 = 238, और Σf = 25। माध्य = 238 ÷ 25 = 9.52 किलोमीटर। (प्रत्यक्ष विधि, पेज 191 और 194।)

प्रश्न 2. 40 विद्यार्थियों को स्कूल पहुँचने में इतने मिनट लगते हैं: 0-10 में 5, 10-20 में 11, 20-30 में 12, 30-40 में 8 और 40-50 में 4 विद्यार्थी। पग-विचलन विधि से माध्य समय ज्ञात कीजिए। फिर प्रत्यक्ष विधि से जाँचिए।

उत्तर: 23.75 मिनट। a = 25 और h = 10 लीजिए। uᵢ = −2, −1, 0, 1, 2; fᵢuᵢ = −10, −11, 0, 8, 8, इसलिए Σfu = −5 और Σf = 40। माध्य = 25 + 10 × (−5 ÷ 40) = 25 − 1.25 = 23.75 मिनट। जाँच: Σfx = 25 + 165 + 300 + 280 + 180 = 950, और 950 ÷ 40 = 23.75। (पग-विचलन विधि, पेज 196-197।)

प्रश्न 3. गर्मी की छुट्टियों में कुछ बच्चों ने इतनी किताबें पढ़ीं: 0-4 में 4 बच्चे, 4-8 में p बच्चे, 8-12 में 10 बच्चे और 12-16 में 6 बच्चे। माध्य 9 किताबें है। p ज्ञात कीजिए।

उत्तर: p = 4। वर्ग चिह्न 2, 6, 10, 14। Σfx = 8 + 6p + 100 + 84 = 192 + 6p, और Σf = 20 + p। माध्य 9 है, इसलिए 192 + 6p = 9(20 + p) = 180 + 9p, अर्थात 3p = 12 और p = 4। जाँच: (192 + 24) ÷ 24 = 216 ÷ 24 = 9।

प्रश्न 4. एक पुस्तकालय में एक दिन आए पाठकों की आयु (वर्षों में): 10-20 में 6, 20-30 में 16, 30-40 में 22, 40-50 में 16 और 50-60 में 8 पाठक। बहुलक वर्ग और बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बहुलक वर्ग 30-40, बहुलक 35 वर्ष। सबसे अधिक बारंबारता 22 है, इसलिए बहुलक वर्ग 30-40 है। l = 30, f₁ = 22, f₀ = 16, f₂ = 16, h = 10। बहुलक = 30 + [(22 − 16) ÷ (44 − 16 − 16)] × 10 = 30 + (6 ÷ 12) × 10 = 35 वर्ष। (पेज 204।)

प्रश्न 5. 50 बच्चों का रोज़ का स्क्रीन-समय (मिनट में): 0-30 में 6, 30-60 में 9, 60-90 में 15, 90-120 में 12 और 120-150 में 8 बच्चे। माध्यक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 80 मिनट। संचयी बारंबारताएँ 6, 15, 30, 42, 50 हैं। n = 50, n/2 = 25। 25 से अधिक और उसके सबसे पास cf 30 है, इसलिए माध्यक वर्ग 60-90 है। l = 60, cf = 15, f = 15, h = 30। माध्यक = 60 + [(25 − 15) ÷ 15] × 30 = 60 + 20 = 80 मिनट। (पेज 214।)

प्रश्न 6. किसी बंटन का माध्य 40.5 और माध्यक 42 है। आनुभाविक संबंध से बहुलक का अनुमान लगाइए।

उत्तर: 45। 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य, इसलिए बहुलक = 3 × 42 − 2 × 40.5 = 126 − 81 = 45। (पेज 218।) ध्यान दें: यह संबंध अनुमान देता है, सूत्र से निकले बहुलक से थोड़ा अलग आ सकता है।

प्रश्न 7. एक दुकान ने 50 दिनों तक रोज़ बिकी सब्ज़ी (किलोग्राम में) की यह कम प्रकार की सारणी बनाई: 20 से कम: 4 दिन, 40 से कम: 12, 60 से कम: 27, 80 से कम: 41, 100 से कम: 50। (a) हर वर्ग (0-20, 20-40, ...) की बारंबारता लिखिए। (b) माध्यक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (a) 4, 8, 15, 14, 9; (b) लगभग 57.33 किलोग्राम। (a) लगातार cf घटाइए: 4, 12 − 4 = 8, 27 − 12 = 15, 41 − 27 = 14, 50 − 41 = 9। (b) n/2 = 25; पहली cf जो 25 से अधिक है, वह 27 है, इसलिए माध्यक वर्ग 40-60 है। l = 40, cf = 12, f = 15, h = 20। माध्यक = 40 + [(25 − 12) ÷ 15] × 20 = 40 + 260/15 ≈ 57.33 किलोग्राम। (पेज 212 और 214।)

प्रश्न 8. हर स्थिति के लिए कौन-सा मापक (माध्य, माध्यक या बहुलक) सबसे ठीक है? (a) एक गाँव के मज़दूरों की "आम" दिहाड़ी, जब दो ठेकेदारों की कमाई बाकी सबसे बहुत ज़्यादा है। (b) जूतों की दुकान जानना चाहती है कि कौन-सा नाप सबसे ज़्यादा बिकता है। (c) दो स्कूलों के कक्षा 10 के अंकों की तुलना, जहाँ सभी विद्यार्थियों के अंक गिनने हैं।

उत्तर: (a) माध्यक; (b) बहुलक; (c) माध्य। (a) बहुत बड़े मान माध्य को ऊपर खींच लेते हैं, माध्यक पर उनका असर नहीं पड़ता। (b) सबसे अधिक बार आने वाला मान बहुलक है। (c) माध्य हर प्रेक्षण पर टिका है और तुलना के लिए ठीक है। (पेज 218।)

8. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

• मान की जगह देखिए। माध्यक और बहुलक अपने वर्ग के अंदर ही आने चाहिए। AI का बहुलक बहुलक वर्ग से बाहर आए, तो उत्तर गलत है।
• दूसरी विधि से जाँचिए। AI ने कल्पित माध्य या पग-विचलन से माध्य निकाला हो, तो प्रत्यक्ष विधि से भी निकालिए; दोनों बराबर आने चाहिए।
• cf की सारणी माँगिए। माध्यक के उत्तर में संचयी बारंबारता का स्तंभ न हो, तो AI से पूछिए कि माध्यक वर्ग कैसे चुना गया।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के प्रश्न: Class 10 Statistics, practice questions with answers। बोर्ड की तैयारी पर: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

• इसी किताब के पिछले अध्याय, हिंदी में: अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय और अध्याय 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग।
• ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 सांख्यिकी के प्रश्न।
• छापने लायक, उत्तर के साथ: कक्षा 10 की वर्कशीटें, अध्याय-वार।

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स्रोत

सब 5 नवंबर 2026 को खोलकर पढ़े गए। पेज संख्याएँ पाठ्यपुस्तक की छपी हुई पेज संख्याएँ हैं।

• NCERT, गणित, कक्षा 10 (हिंदी माध्यम, Reprint 2026-27), अध्याय 13 "सांख्यिकी", पेज 190 से 222: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh113.pdf
• NCERT, Mathematics, Class X (अंग्रेज़ी संस्करण), Chapter 13 "Statistics": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh113.pdf
• CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure (पेज 3) और Unit VII Statistics (पेज 7): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय का नाम, पेज संख्याएँ, परिभाषाएँ और सूत्र ऊपर की पाठ्यपुस्तक से हैं। व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और हल हमारे अपने हैं, और हर संख्या स्क्रिप्ट से दोबारा जाँची गई है। यह गाइड सामान्य जानकारी है; अपने शिक्षक और पाठ्यपुस्तक की बात मानें।

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