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कक्षा 10 गणित अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 5 नवंबर 2026

NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का आठवाँ अध्याय "त्रिकोणमिति का परिचय" है, पेज 127 से 149 तक। इसमें समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपातों से कोणों को जोड़ना सीखते हैं। यह गाइड दो काम करती है:

अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 10 Trigonometry, questions with answers।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। इकाई V, "Trigonometry" (त्रिकोणमिति), के 12 अंक हैं; इसमें यह अध्याय और अगला अध्याय, त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग, दोनों आते हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)। CBSE अध्याय-वार अंक नहीं देता।

पाठ्यक्रम इस अध्याय के लिए कहता है (पेज 6): समकोण त्रिभुज के न्यून कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात, 0° और 90° पर जो अनुपात परिभाषित हैं वे, 30°, 45° और 60° के मान, अनुपातों के बीच संबंध, और सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 की उपपत्ति और उपयोग। सर्वसमिकाएँ केवल सरल ही पूछी जाएँगी।

1. छह त्रिकोणमितीय अनुपात

समकोण त्रिभुज ABC में कोण B समकोण है और कोण A एक न्यून कोण है (पेज 129)।

कर्ण: समकोण के सामने वाली भुजा, AC।
कोण A की सम्मुख भुजा: कोण A के सामने वाली भुजा, BC।
कोण A की संलग्न भुजा: कोण A से लगी हुई दूसरी भुजा, AB।

अनुपात	परिभाषा	उल्टा (व्युत्क्रम)
sin A	सम्मुख भुजा ÷ कर्ण = BC/AC	cosec A = AC/BC
cos A	संलग्न भुजा ÷ कर्ण = AB/AC	sec A = AC/AB
tan A	सम्मुख भुजा ÷ संलग्न भुजा = BC/AB	cot A = AB/BC

(पेज 129-130।) साथ ही sin A/cos A = tan A है, और इसका उल्टा cos A/sin A = cot A (पेज 130)।

कोण बदलते ही "सम्मुख" और "संलग्न" भुजाएँ बदल जाती हैं। कोण C के लिए सम्मुख भुजा AB है और संलग्न भुजा BC (पेज 129)।
sin A एक ही चिह्न है, sin और A का गुणनफल नहीं (पेज 131)।
एक ही कोण वाले हर समकोण त्रिभुज में ये अनुपात एक जैसे रहते हैं, क्योंकि ऐसे त्रिभुज AA कसौटी से समरूप होते हैं (पेज 131)। यहाँ अध्याय 6 काम आता है।
"sine" शब्द आर्यभट्ट के "अर्ध-ज्या" से निकला है (पेज 130)।

2. विशिष्ट कोणों के मान

∠A	0°	30°	45°	60°	90°
sin A	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos A	1	√3/2	1/√2	1/2	0
tan A	0	1/√3	1	√3	अपरिभाषित

(सारणी 8.1, पेज 140।) cosec, sec और cot इनके उल्टे हैं; जहाँ हर (denominator) शून्य हो जाए, वहाँ अनुपात अपरिभाषित है।

याद रखने का तरीका: sin की पंक्ति 0° से 90° तक बढ़ती है (√0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2), और cos की पंक्ति वही मान उल्टे क्रम में देती है।

3. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

समकोण त्रिभुज में AB² + BC² = AC² को AC² से भाग देने पर (पेज 144):

cos²A + sin²A = 1 (0° ≤ A ≤ 90°)

इसी पाइथागोरस संबंध को AB² और BC² से भाग देने पर बाकी दो मिलती हैं (पेज 144, 149):

1 + tan²A = sec²A (0° ≤ A < 90°)
cot²A + 1 = cosec²A (0° < A ≤ 90°)

इनसे किसी एक अनुपात का मान पता हो तो बाकी सब निकाले जा सकते हैं (पेज 148)। साथ ही sin A और cos A कभी 1 से बड़े नहीं होते, जबकि sec A और cosec A हमेशा 1 या उससे बड़े होते हैं (पेज 149)।

4. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

गलत कोण की सम्मुख भुजा लेना। हर प्रश्न में पहले लिखिए कि कोण कौन-सा है, फिर उसकी सम्मुख भुजा, संलग्न भुजा और कर्ण पर निशान लगाइए।
sin²A को sin A² समझना। sin²A का अर्थ है (sin A)², यानी पहले sin A निकालिए, फिर उसका वर्ग। कोण का वर्ग नहीं लिया जाता।
sin(A + B) = sin A + sin B मान लेना। यह गलत है। उदाहरण: A = B = 30° लें, तो sin 60° = √3/2 है, पर sin 30° + sin 30° = 1।

5. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के उदाहरण या अभ्यास-प्रश्न नहीं।

प्रश्न 1. त्रिभुज PQR में कोण Q समकोण है, PQ = 11 cm और QR = 60 cm है। (a) PR ज्ञात कीजिए। (b) कोण R के छहों त्रिकोणमितीय अनुपात लिखिए। (c) दिखाइए कि sin R = cos P।

उत्तर: (a) PR = 61 cm; (b) sin R = 11/61, cos R = 60/61, tan R = 11/60, cosec R = 61/11, sec R = 61/60, cot R = 60/11।

(a) PR² = 11² + 60² = 121 + 3600 = 3721, इसलिए PR = 61 cm।
(b) कोण R की सम्मुख भुजा PQ = 11 है और संलग्न भुजा QR = 60। इसलिए sin R = 11/61, cos R = 60/61, tan R = 11/60, और बाकी तीन इनके उल्टे।
(c) कोण P की संलग्न भुजा PQ है, तो cos P = PQ/PR = 11/61 = sin R ✓।

(पेज 129-130।)

प्रश्न 2. आयत ABCD का विकर्ण AC = 10 cm है, और यह भुजा AB के साथ 30° का कोण बनाता है। भुजाएँ AB और BC तथा आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.732 लें।)

उत्तर: AB = 5√3 cm, BC = 5 cm, क्षेत्रफल = 25√3 ≈ 43.3 cm²।

त्रिभुज ABC में कोण B समकोण है (आयत का कोण), और AC कर्ण है।
AB = AC × cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3 cm।
BC = AC × sin 30° = 10 × 1/2 = 5 cm।
क्षेत्रफल = AB × BC = 5√3 × 5 = 25√3 ≈ 25 × 1.732 = 43.3 cm²।

(सारणी 8.1, पेज 140।)

प्रश्न 3. एक छत के ढाँचे में तिरछी कड़ी (rafter) 8 m लंबी है। उसका निचला सिरा दीवार के ऊपर है, और ऊपरी सिरा छत के बीच के खंभे पर, जो दीवार से 4√3 m की क्षैतिज दूरी पर है। कड़ी क्षैतिज से कितने कोण पर है? खंभे पर कड़ी दीवार के स्तर से कितनी ऊँचाई पर मिलती है?

उत्तर: 30°; 4 m।

कड़ी, क्षैतिज दूरी और खंभा एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसका कर्ण कड़ी है।
cos (कोण) = संलग्न ÷ कर्ण = 4√3/8 = √3/2, इसलिए कोण = 30°।
ऊँचाई = 8 × sin 30° = 8 × 1/2 = 4 m। (जाँच: 4² + (4√3)² = 16 + 48 = 64 = 8² ✓)

(सारणी 8.1, पेज 140।)

प्रश्न 4. न्यून कोण θ का मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए 2 cos²θ − 3 cos θ + 1 = 0 हो।

उत्तर: θ = 60°।

cos θ = x रखिए: 2x² − 3x + 1 = 0, यानी (2x − 1)(x − 1) = 0।
इसलिए cos θ = 1/2 या cos θ = 1।
cos θ = 1 से θ = 0° मिलता है, जो न्यून कोण नहीं है। cos θ = 1/2 से θ = 60°।

(सारणी 8.1, पेज 140; द्विघात समीकरण, अध्याय 4।)

प्रश्न 5. किसी न्यून कोण A के लिए sec A + tan A = 3 है। sec A − tan A, फिर sec A, tan A और sin A ज्ञात कीजिए।

उत्तर: sec A − tan A = 1/3; sec A = 5/3, tan A = 4/3, sin A = 4/5।

सर्वसमिका sec²A − tan²A = 1 को (sec A + tan A)(sec A − tan A) = 1 लिखिए। इसलिए sec A − tan A = 1/3।
दोनों समीकरण जोड़ने पर 2 sec A = 3 + 1/3 = 10/3, तो sec A = 5/3; घटाने पर 2 tan A = 8/3, तो tan A = 4/3।
cos A = 3/5, और sin A = tan A × cos A = 4/3 × 3/5 = 4/5। (जाँच: 16/25 + 9/25 = 1 ✓)

(सर्वसमिका 1 + tan²A = sec²A, पेज 144।)

प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए: (sin A + cos A)² + (sin A − cos A)² = 2।

उत्तर (उपपत्ति):

बायाँ पक्ष = (sin²A + 2 sin A cos A + cos²A) + (sin²A − 2 sin A cos A + cos²A)
= 2 sin²A + 2 cos²A (बीच के पद कट जाते हैं)
= 2(sin²A + cos²A) = 2 × 1 = 2 = दायाँ पक्ष।

(सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1, पेज 144।)

प्रश्न 7. A और B न्यून कोण हैं, sin A = 1/2 और cos B = 1/2 है। (a) A और B ज्ञात कीजिए। (b) sin(A + B) और cos(A + B) ज्ञात कीजिए। (c) tan(A + B) के बारे में क्या कह सकते हैं?

उत्तर: (a) A = 30°, B = 60°; (b) sin(A + B) = 1, cos(A + B) = 0; (c) tan(A + B) अपरिभाषित है।

(a) sin 30° = 1/2 और cos 60° = 1/2, इसलिए A = 30° और B = 60°।
(b) A + B = 90°: sin 90° = 1 और cos 90° = 0।
(c) tan 90° = sin 90°/cos 90° = 1/0, जो परिभाषित नहीं है।
ध्यान दें: sin A + sin B = 1/2 + √3/2, जो sin(A + B) = 1 के बराबर नहीं।

(सारणी 8.1, पेज 140।)

प्रश्न 8. (a) यदि x = 3 sin θ और y = 3 cos θ हो, तो x² + y² का मान ज्ञात कीजिए। (b) यदि x = 2 sec θ और y = 2 tan θ हो (0° ≤ θ < 90°), तो x² − y² ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (a) 9; (b) 4।

(a) x² + y² = 9 sin²θ + 9 cos²θ = 9(sin²θ + cos²θ) = 9 × 1 = 9।
(b) x² − y² = 4 sec²θ − 4 tan²θ = 4(sec²θ − tan²θ) = 4 × 1 = 4।
दोनों उत्तर θ पर निर्भर नहीं करते: θ "हट" जाता है।

(सर्वसमिकाएँ, पेज 144, 149।)

6. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

सारणी से मिलाइए। AI कोई मान बताए (जैसे cos 60°), तो उसे सारणी 8.1 से मिलाइए। sin और cos के मान उलटना आम गलती है।
सीमा देखिए। sin या cos का उत्तर 1 से बड़ा आए, या sec का उत्तर 1 से छोटा, तो उत्तर गलत है।
उपपत्ति में हर कदम का कारण माँगिए। सर्वसमिका सिद्ध करते समय हर पंक्ति में किस सर्वसमिका का उपयोग हुआ, यह लिखा होना चाहिए।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के प्रश्न: Class 10 Trigonometry, questions with answers। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

इसी किताब के दूसरे अध्याय, हिंदी में: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ, अध्याय 2 बहुपद, अध्याय 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म, अध्याय 4 द्विघात समीकरण, अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ, अध्याय 6 त्रिभुज और पिछला अध्याय अध्याय 7 निर्देशांक ज्यामिति।
अगला अध्याय: अध्याय 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग।
ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 और "Introduction to Trigonometry (board practice)" चुनें।
छापने लायक, उत्तर के साथ: Introduction to Trigonometry की वर्कशीट।
बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।

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स्रोत

सभी 5 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम), अध्याय 8 "त्रिकोणमिति का परिचय", पेज 127 से 149: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh108.pdf
NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 8 "Introduction to Trigonometry": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh108.pdf
CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure (पेज 3) और Unit V Trigonometry (पेज 6): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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