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कक्षा 10 गणित अध्याय 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 5 नवंबर 2026

इस गाइड की हिंदी की समीक्षा किसी हिंदी भाषी शिक्षक ने अभी नहीं की है (translation - review pending)।

NCERT की कक्षा 10 की हिंदी माध्यम की पाठ्यपुस्तक गणित का नौवाँ अध्याय "त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग" है, पेज 150 से 160 तक। इसमें पिछले अध्याय के त्रिकोणमितीय अनुपातों से मीनार, भवन या नदी जैसी चीज़ों की ऊँचाई और दूरी निकालना सीखते हैं, बिना उन्हें सीधे नापे। यह गाइड दो काम करती है:

• अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
• अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। पिछला अध्याय: कक्षा 10 गणित अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 10 Some Applications of Trigonometry, questions with answers।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

परीक्षा में यह अध्याय

CBSE ने 2026-27 के लिए कक्षा 10 गणित की वार्षिक परीक्षा 80 अंकों की रखी है। इकाई V, "Trigonometry" (त्रिकोणमिति), के 12 अंक हैं; इसमें पिछला अध्याय और यह अध्याय, दोनों आते हैं (CBSE पाठ्यक्रम, पेज 3)। CBSE अध्याय-वार अंक नहीं देता।

पाठ्यक्रम इस अध्याय के लिए दो सीमाएँ साफ़ लिखता है (पेज 6):

• प्रश्न में दो से ज़्यादा समकोण त्रिभुज नहीं होंगे;
• उन्नयन और अवनमन कोण केवल 30°, 45° और 60° होंगे।

इसलिए आपको बस इन तीन कोणों के tan, sin और cos के मान पक्के याद होने चाहिए (पिछले अध्याय की सारणी 8.1)।

1. दृष्टि-रेखा, उन्नयन कोण और अवनमन कोण

• दृष्टि-रेखा: देखने वाले (प्रेक्षक) की आँख से उस बिंदु तक की रेखा जिसे वह देख रहा है (पेज 150)।
• उन्नयन कोण: जब देखा जा रहा बिंदु आँख के क्षैतिज स्तर से ऊपर हो, तो दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण। इसमें सिर ऊपर उठाना पड़ता है (पेज 150)।
• अवनमन कोण: जब बिंदु क्षैतिज स्तर से नीचे हो, तो दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण। इसमें सिर नीचे झुकाना पड़ता है (पेज 151)।

याद रखने का आसान तरीका: कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से नापा जाता है, खड़ी दीवार या मीनार से नहीं।

2. ऊँचाई-दूरी का प्रश्न हल करने के चरण

किताब मीनार वाले चित्र से यही तरीका समझाती है (पेज 151-152)। हमारे शब्दों में:

1. साफ़ आरेख बनाइए। खड़ी चीज़ (मीनार, खंभा) को ज़मीन पर लंब मानिए, ताकि नीचे समकोण बने।
2. ज्ञात और अज्ञात पहचानिए। किस भुजा की लंबाई दी है, कौन-सी निकालनी है, और कौन-सा कोण दिया है।
3. सही अनुपात चुनिए। ऊँचाई और ज़मीन वाली दूरी हो, तो tan; ऊँचाई और तिरछी लंबाई (सीढ़ी, डोरी) हो, तो sin; ज़मीन वाली दूरी और तिरछी लंबाई हो, तो cos।
4. प्रेक्षक की ऊँचाई जोड़िए। अगर कोण आँख से नापा गया है, तो त्रिभुज आँख के स्तर पर बनता है; अंत में आँख की ऊँचाई जोड़नी होती है (पेज 152)।
5. दो त्रिभुज हों तो साझी भुजा (अक्सर ऊँचाई या दूरी) को x मानकर दोनों त्रिभुजों से दो समीकरण लिखिए।

3. अवनमन कोण वाली एक ज़रूरी बात

ऊपर से नीचे देखने पर बना अवनमन कोण, नीचे वाले बिंदु से ऊपर देखने पर बने उन्नयन कोण के बराबर होता है, क्योंकि दोनों क्षैतिज रेखाएँ समांतर हैं और ये दोनों एकांतर कोण हैं (किताब यह तर्क उदाहरण 6 में देती है, पेज 156)। इसलिए अवनमन कोण वाले प्रश्न में त्रिभुज का कोण नीचे वाले बिंदु पर रखिए।

4. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

1. आँख की ऊँचाई भूल जाना। अगर 1.5 m का व्यक्ति आँख से कोण नापता है, तो tan से मिली ऊँचाई आँख से ऊपर की है; उसमें 1.5 m जोड़ना पड़ता है।
2. अवनमन कोण को खड़ी रेखा से नापना। अवनमन कोण भी क्षैतिज रेखा से ही नापा जाता है; खड़ी रेखा से नापा कोण उसका पूरक (90° − कोण) होता है।
3. √3 का मान पहले ही रख देना। पहले उत्तर को 20√3 जैसे रूप में निकालिए, अंत में ही √3 ≈ 1.732 रखिए। बीच में रखने से गोलाई की गलती बढ़ती है।

5. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के उदाहरण या अभ्यास-प्रश्न नहीं। जहाँ दशमलव माँगा है, वहाँ √3 ≈ 1.732 लीजिए।

प्रश्न 1. बताइए कि हर स्थिति में बना कोण उन्नयन कोण है या अवनमन कोण: (a) आँगन में खड़ी रीना पेड़ की डाल पर बैठे तोते को देखती है। (b) छत पर खड़ा अमन नीचे सड़क पर खड़ी साइकिल को देखता है। (c) विमान का पायलट नीचे हवाई पट्टी की बत्ती को देखता है।

उत्तर: (a) उन्नयन कोण; (b) अवनमन कोण; (c) अवनमन कोण। (a) में तोता रीना की आँख के क्षैतिज स्तर से ऊपर है, उसे सिर उठाना पड़ता है। (b) और (c) में देखी जा रही चीज़ आँख के क्षैतिज स्तर से नीचे है, सिर झुकाना पड़ता है। (परिभाषाएँ, पेज 150-151।)

प्रश्न 2. समतल ज़मीन पर पानी की एक टंकी 12 m ऊँची है। ज़मीन के एक बिंदु से टंकी के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। वह बिंदु टंकी के पाद से कितनी दूर है?

उत्तर: 4√3 m, लगभग 6.93 m। टंकी की ऊँचाई सम्मुख भुजा है और दूरी d संलग्न भुजा। tan 60° = 12/d, अर्थात √3 = 12/d, इसलिए d = 12/√3 = 4√3 m ≈ 4 × 1.732 = 6.928 ≈ 6.93 m। (tan का उपयोग, पेज 152-153।)

प्रश्न 3. सुमन की आँखें ज़मीन से 1.6 m ऊपर हैं। वह अपने स्कूल भवन से 24 m दूर खड़ी है और उसे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° दिखता है। भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (1.6 + 8√3) m, लगभग 15.46 m। त्रिभुज सुमन की आँख के स्तर पर बनता है। आँख से ऊपर की ऊँचाई h हो, तो tan 30° = h/24, अर्थात 1/√3 = h/24, इसलिए h = 24/√3 = 8√3 m ≈ 13.856 m। भवन की कुल ऊँचाई = 1.6 + 13.856 = 15.456 ≈ 15.46 m। (आँख की ऊँचाई जोड़ना, पेज 152।)

प्रश्न 4. स्कूल के मंच तक व्हीलचेयर के लिए एक सीधा रैंप बनाना है। मंच ज़मीन से 0.9 m ऊँचा है और नियम है कि रैंप ज़मीन से 30° से ज़्यादा ढलवाँ न हो। (a) ठीक 30° पर रैंप की लंबाई कितनी होगी? (b) तब रैंप का निचला सिरा मंच से कितनी दूरी पर होगा? (c) स्टोर में 1.5 m लंबा एक तख़्ता है। क्या उससे नियम के अंदर रैंप बन सकता है?

उत्तर: (a) 1.8 m; (b) 0.9√3 m, लगभग 1.56 m; (c) नहीं। (a) रैंप कर्ण है और मंच की ऊँचाई सम्मुख भुजा: sin 30° = 0.9/L, अर्थात 1/2 = 0.9/L, इसलिए L = 1.8 m। (b) tan 30° = 0.9/x, इसलिए x = 0.9√3 ≈ 0.9 × 1.732 = 1.5588 ≈ 1.56 m। (c) 1.5 m का तख़्ता 0.9 m तक पहुँचे, तो sin θ = 0.9/1.5 = 0.6 होगा, जो sin 30° = 0.5 से बड़ा है; यानी कोण 30° से ज़्यादा होगा। रैंप कम से कम 1.8 m लंबा चाहिए, इसलिए नहीं। (sin और tan का चयन, पेज 153-154।)

प्रश्न 5. एक पहाड़ी पर बना मंदिर मैदान से 45 m ऊँचा है। मंदिर से नीचे मैदान में एक बस स्टॉप का अवनमन कोण 60° है। बस स्टॉप पहाड़ी के पाद से (क्षैतिज दूरी में) कितनी दूर है?

उत्तर: 15√3 m, लगभग 25.98 m। अवनमन कोण 60° है, इसलिए बस स्टॉप से मंदिर का उन्नयन कोण भी 60° है (एकांतर कोण)। tan 60° = 45/d, अर्थात √3 = 45/d, इसलिए d = 45/√3 = 15√3 ≈ 15 × 1.732 = 25.98 m। (अवनमन कोण, पेज 151 और 156।)

प्रश्न 6. समुद्र में एक नाव 60 m ऊँची एक सीधी चट्टान की ओर सीधी रेखा में आ रही है। नाव से चट्टान की चोटी का उन्नयन कोण पहले 30° है और कुछ देर बाद 45° हो जाता है (नाव की ऊँचाई नगण्य मानिए)। इस बीच नाव कितनी दूरी तय करती है?

उत्तर: 60(√3 − 1) m, लगभग 43.92 m। पहली स्थिति: tan 30° = 60/d₁, इसलिए d₁ = 60√3 m। दूसरी स्थिति: tan 45° = 60/d₂, इसलिए d₂ = 60 m। तय की गई दूरी = d₁ − d₂ = 60√3 − 60 = 60(√3 − 1) ≈ 60 × 0.732 = 43.92 m। यहाँ दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनकी साझी भुजा चट्टान की ऊँचाई है। (दो त्रिभुज, पेज 155-156।)

प्रश्न 7. समतल मैदान में 40 m ऊँचा एक मोबाइल टावर खड़ा है। टावर के दो विपरीत ओर, उसके पाद से गुज़रने वाली एक ही सीधी रेखा पर, बिंदु A और B हैं। A से टावर की चोटी का उन्नयन कोण 30° और B से 60° है। A और B के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 160/√3 m = 160√3/3 m, लगभग 92.37 m। A से पाद की दूरी: tan 30° = 40/a, इसलिए a = 40√3 m। B से पाद की दूरी: tan 60° = 40/b, इसलिए b = 40/√3 = 40√3/3 m। A और B विपरीत ओर हैं, इसलिए AB = a + b = 40√3 + 40√3/3 = 160√3/3 ≈ 160 × 1.732 ÷ 3 = 92.373 ≈ 92.37 m। (दो त्रिभुज, पेज 157-158।)

प्रश्न 8. एक भवन की खिड़की ज़मीन से 9 m ऊपर है। खिड़की से सामने वाले भवन के पाद का अवनमन कोण 30° और उसी भवन के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। (a) दोनों भवनों के बीच की दूरी कितनी है? (b) सामने वाले भवन की ऊँचाई कितनी है?

उत्तर: (a) 9√3 m, लगभग 15.59 m; (b) 9(1 + √3) m, लगभग 24.59 m। (a) पाद का अवनमन कोण 30° है: tan 30° = 9/d, इसलिए d = 9√3 ≈ 15.588 ≈ 15.59 m। (b) खिड़की के स्तर से ऊपर का भाग: tan 45° = h/d, इसलिए h = d = 9√3 m। कुल ऊँचाई = 9 + 9√3 = 9(1 + √3) ≈ 9 + 15.588 = 24.588 ≈ 24.59 m। (उन्नयन और अवनमन, पेज 150-151; दो त्रिभुज, पेज 156-157।)

6. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

• आरेख माँगिए। AI से हल लें, तो देखें कि उसने समकोण कहाँ रखा है और कोण क्षैतिज रेखा से नापा है या नहीं।
• कोण की सीमा देखिए। बोर्ड के प्रश्नों में कोण केवल 30°, 45° या 60° होंगे। AI कोई और कोण मानकर हल करे, तो प्रश्न दोबारा पढ़िए।
• उत्तर का अंदाज़ा लगाइए। 45° पर ऊँचाई और दूरी बराबर होती हैं; 60° पर ऊँचाई दूरी से बड़ी, और 30° पर छोटी। AI का उत्तर इससे उलटा हो, तो वह गलत है।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय के प्रश्न: Class 10 Some Applications of Trigonometry, questions with answers। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 10 गणित का अभ्यास

• इसी किताब के दूसरे अध्याय, हिंदी में: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ, अध्याय 2 बहुपद, अध्याय 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म, अध्याय 4 द्विघात समीकरण, अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ, अध्याय 6 त्रिभुज, अध्याय 7 निर्देशांक ज्यामिति और पिछला अध्याय अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय; आगे: अध्याय 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल।
• ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 10 के ऊँचाई-दूरी वाले प्रश्न।
• छापने लायक, उत्तर के साथ: Applications of Trigonometry की वर्कशीट।
• बोर्ड की तैयारी: कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा की तैयारी कैसे करें।

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स्रोत

सभी 5 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

• NCERT, गणित, कक्षा 10 की पाठ्यपुस्तक (हिंदी माध्यम), अध्याय 9 "त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग", पेज 150 से 160: ncert.nic.in/textbook/pdf/jhmh109.pdf
• NCERT, Mathematics (अंग्रेज़ी संस्करण), Class X, Chapter 9 "Some Applications of Trigonometry": ncert.nic.in/textbook/pdf/jemh109.pdf
• CBSE, Mathematics, Class X 2026-27, course structure (पेज 3) और Unit V Trigonometry, Heights and Distances (पेज 6): cbseacademic.nic.in, Maths_SecP1X_2026-27.pdf

अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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