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कक्षा 9 गणित अध्याय 2 रैखिक बहुपदों का परिचय: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

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कक्षा 9 की नई गणित की पाठ्यपुस्तक गणित मंजरी (भाग 1) का दूसरा अध्याय "रैखिक बहुपदों का परिचय" है, पेज 16 से 40 तक। अंग्रेज़ी किताब में इसी अध्याय का नाम "Introduction to Linear Polynomials" है। यह गाइड दो काम करती है:

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। पिछला अध्याय: कक्षा 9 गणित अध्याय 1 निर्देशांकों का उपयोग। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 9 Introduction to Linear Polynomials, practice questions with answers।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

1. बहुपद और उसकी घात

जिस बीजीय व्यंजक में केवल एक चर हो और उस चर की घातें हों, उसे एक चर बहुपद (एकचरीय बहुपद) या सीधे बहुपद कहते हैं (पेज 18)। बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उस बहुपद की घात कहलाती है:

घातनामहमारा उदाहरण
3त्रिघाती बहुपद2m³ − m + 4
2द्विघाती बहुपदp² + 6
1रैखिक बहुपद9 − 4k
0अचर बहुपद12

अचर 12 की घात 0 है, क्योंकि उसे 12x⁰ लिखा जा सकता है (पेज 18)। ध्यान दें: घात जानने के लिए पदों का क्रम मायने नहीं रखता; बहुपद में कहीं भी लिखी सबसे बड़ी घात देखिए।

2. रैखिक बहुपद और रैखिक समीकरण

घात 1 वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं, जैसे 7a + 2 या 5 − 3y (पेज 19)। जब किसी रैखिक बहुपद को किसी अचर के बराबर रख देते हैं, तो रैखिक समीकरण बनता है (पेज 20)। उदाहरण (हमारा): 3n + 8 = 29 से 3n = 21, इसलिए n = 7।

बहुपद को एक "इनपुट-आउटपुट मशीन" की तरह भी देख सकते हैं: x का मान डालो, बहुपद का मान निकलता है (पेज 20)। जैसे 6 − 2x में x = 4 रखने पर 6 − 8 = −2 मिलता है।

3. रैखिक प्रतिरूप

संख्याओं का ऐसा अनुक्रम, जिसमें लगातार पदों का अंतर हमेशा एक ही (अचर) हो, रैखिक प्रतिरूप कहलाता है (पेज 23)। ऐसे अनुक्रम का nवाँ पद n का एक रैखिक व्यंजक होता है। उदाहरण (हमारा): 4, 9, 14, 19, … में हर बार 5 जुड़ता है; nवाँ पद 5n − 1 है (n = 1 पर 4, n = 2 पर 9)।

4. रैखिक वृद्धि और रैखिक ह्रास

हमारा उदाहरण: बचत खाते में ₹300 हैं और हर सप्ताह ₹40 जमा होते हैं, तो t सप्ताह बाद राशि 300 + 40t है: यह रैखिक वृद्धि है।

5. रैखिक संबंध y = ax + b और उसका आलेख

दो चरों x और y के बीच रैखिक संबंध y = ax + b के रूप में लिखा जाता है (पेज 26)। यदि दो स्थितियों के मान पता हों, तो उन्हें y = ax + b में रखकर a और b निकाले जा सकते हैं।

ऐसे संबंध का आलेख एक सरल रेखा होता है। रेखा खींचने के लिए उस पर कोई दो बिंदु काफ़ी हैं (पेज 27)। जो बिंदु रेखा पर है, उसके निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं (पेज 28)।

y = ax + b में (पेज 35-36):

रैखिक वृद्धि धनात्मक ढलान वाली रेखा से और रैखिक ह्रास ऋणात्मक ढलान वाली रेखा से दिखाई जाती है (पेज 40)।

6. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

  1. घात पहले पद से पढ़ना। 4 + x − x³ की घात 3 है, 1 नहीं; सबसे बड़ी घात कहीं भी हो सकती है।
  2. y-अंतःखंड को x वाले पद से पढ़ना। y = 3x − 5 में y-अंतःखंड −5 है, 3 नहीं; 3 ढलान है।
  3. समीकरण को y = ax + b के रूप में लाए बिना ढलान बताना। 2y = 8x + 3 की ढलान 8 नहीं है; पहले 2 से भाग दें: y = 4x + 1.5, ढलान 4।

7. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

प्रश्न 1. बहुपद 7 − 2y + 3y⁴ की घात क्या है? इसमें y² का गुणांक क्या है?

उत्तर: घात 4; y² का गुणांक 0। y की सबसे बड़ी घात 4 है (पद 3y⁴), इसलिए बहुपद की घात 4 है। इस बहुपद में y² वाला कोई पद नहीं है, इसलिए y² का गुणांक 0 है। (घात और गुणांक, पेज 18।)

प्रश्न 2. प्रत्येक बहुपद का प्रकार बताइए (रैखिक, द्विघाती, त्रिघाती या अचर): (a) 6 − x (b) x² − 9 (c) 11 (d) 2z³ + z

उत्तर: (a) घात 1, रैखिक; (b) घात 2, द्विघाती; (c) घात 0, अचर; (d) घात 3, त्रिघाती। (बहुपदों के प्रकार, पेज 18।)

प्रश्न 3. दो क्रमागत सम संख्याओं का योग 86 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 42 और 44। छोटी संख्या x लें, तो अगली सम संख्या x + 2 है। x + (x + 2) = 86, अर्थात 2x + 2 = 86, 2x = 84, x = 42। संख्याएँ 42 और 44 हैं (जाँच: 42 + 44 = 86)। यहाँ 2x + 2 एक रैखिक बहुपद है जिसे 86 के बराबर रखकर रैखिक समीकरण बना। (रैखिक समीकरण, पेज 20।)

प्रश्न 4. एक बगीचे में पौधों की कतारें लगाई गई हैं। पहली कतार में 7 पौधे हैं और हर अगली कतार में 3 पौधे अधिक हैं। (a) nवीं कतार में कितने पौधे होंगे? (b) 10वीं कतार में? (c) किस कतार में 49 पौधे होंगे?

उत्तर: (a) 3n + 4; (b) 34; (c) 15वीं। पौधे 7, 10, 13, … हैं; हर बार 3 बढ़ते हैं, इसलिए यह रैखिक प्रतिरूप है। nवीं कतार में 7 + 3(n − 1) = 3n + 4। (b) n = 10: 30 + 4 = 34। (c) 3n + 4 = 49 से 3n = 45, n = 15। जाँच: 3 × 15 + 4 = 49। (रैखिक प्रतिरूप, पेज 21-23।)

प्रश्न 5. 15 सेमी लंबी एक मोमबत्ती हर घंटे 1.5 सेमी जलकर छोटी होती है। (a) t घंटे बाद उसकी लंबाई L के लिए व्यंजक लिखिए। (b) 4 घंटे बाद लंबाई कितनी होगी? (c) मोमबत्ती कितने घंटे में पूरी जल जाएगी? (d) यह रैखिक वृद्धि है या रैखिक ह्रास?

उत्तर: (a) L = 15 − 1.5t; (b) 9 सेमी; (c) 10 घंटे; (d) रैखिक ह्रास। (b) 15 − 1.5 × 4 = 15 − 6 = 9 सेमी। (c) 15 − 1.5t = 0 से t = 10। (d) लंबाई बराबर अंतरालों (हर घंटे) में एक ही मान (1.5 सेमी) से घटती है, इसलिए यह रैखिक ह्रास है। (रैखिक वृद्धि और ह्रास, पेज 24-25।)

प्रश्न 6. एक पार्किंग में शुल्क y = ax + b के नियम से लगता है, जहाँ x घंटे हैं। 3 घंटे का शुल्क ₹80 और 7 घंटे का ₹160 है। a और b ज्ञात कीजिए। 10 घंटे का शुल्क कितना होगा?

उत्तर: a = 20, b = 20; 10 घंटे के लिए ₹220। 80 = 3a + b और 160 = 7a + b। दूसरे में से पहला घटाने पर 4a = 80, a = 20। फिर b = 80 − 60 = 20। संबंध y = 20x + 20 है: ₹20 हर घंटे के और ₹20 एक बार का शुल्क। 10 घंटे: 20 × 10 + 20 = ₹220। (रैखिक संबंध, पेज 26।)

प्रश्न 7. रेखा y = −4x + 6 के लिए: (a) ढलान क्या है? (b) y-अंतःखंड क्या है, और रेखा y-अक्ष को किस बिंदु पर काटती है? (c) यह रेखा रैखिक वृद्धि दिखाती है या ह्रास?

उत्तर: (a) −4; (b) 6, बिंदु (0, 6); (c) ह्रास। y = ax + b से तुलना करने पर a = −4 और b = 6। x = 0 रखने पर y = 6, इसलिए रेखा y-अक्ष को (0, 6) पर काटती है। ढलान ऋणात्मक है, इसलिए यह रैखिक ह्रास दिखाती है: x के हर 1 बढ़ने पर y 4 घटता है। (ढलान और y-अंतःखंड, पेज 35-36 और 40।)

प्रश्न 8. इन रेखाओं में कौन-सी दो समानांतर हैं: y = 5x − 1, y = −5x + 2, 2y = 10x + 7, y = x + 5? क्या बिंदु (1, 4) रेखा y = 5x − 1 पर है?

उत्तर: y = 5x − 1 और 2y = 10x + 7 समानांतर हैं; (1, 4) उस रेखा पर है। 2y = 10x + 7 को 2 से भाग देने पर y = 5x + 3.5 मिलता है। इसकी ढलान 5 है, जो y = 5x − 1 की ढलान के बराबर है, जबकि y-अंतःखंड अलग हैं (3.5 और −1), इसलिए दोनों समानांतर हैं। y = −5x + 2 की ढलान −5 और y = x + 5 की ढलान 1 है। x = 1 रखने पर y = 5 − 1 = 4, इसलिए (1, 4) रेखा y = 5x − 1 पर है। (समानांतर रेखाएँ, पेज 36; बिंदु और समीकरण, पेज 28।)

8. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

कक्षा 9 गणित का अभ्यास

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स्रोत

सब 5 नवंबर 2026 को खोलकर पढ़े गए। पेज संख्याएँ पाठ्यपुस्तक की छपी हुई पेज संख्याएँ हैं।

अध्याय का नाम, पेज संख्याएँ और परिभाषाएँ ऊपर की पाठ्यपुस्तक से हैं। व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और हल हमारे अपने हैं, और हर संख्या स्क्रिप्ट से दोबारा जाँची गई है। यह गाइड सामान्य जानकारी है; अपने शिक्षक और पाठ्यपुस्तक की बात मानें।

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