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कक्षा 9 गणित अध्याय 1 निर्देशांकों का उपयोग: Hindi medium नोट्स और 8 प्रश्न-उत्तर

CMDLearn · 4 नवंबर 2026

कक्षा 9 की नई गणित की पाठ्यपुस्तक गणित मंजरी (भाग 1) का पहला अध्याय "स्वयं को प्रवृत्त करना — निर्देशांकों का उपयोग" है, पेज 1 से 15 तक। अंग्रेज़ी किताब में इसी अध्याय का नाम "Orienting Yourself: The Use of Coordinates" है। यह गाइड दो काम करती है:

अध्याय के मुख्य विचारों को छोटे नोट्स में समझाती है;
अंत में हमारे अपने 8 प्रश्न देती है, हल और उत्तर के साथ।

पाठ्यपुस्तक साथ में खुली रखें। यहाँ की व्याख्याएँ, उदाहरण और प्रश्न हमारे अपने हैं; अंतिम बात पाठ्यपुस्तक की ही मानें। अंग्रेज़ी में यही अध्याय: Class 9 Orienting Yourself, practice questions with answers।

यह गाइड सीधे हिंदी में लिखी गई है, पर किसी हिंदी-माध्यम शिक्षक ने अभी इसकी भाषा नहीं जाँची है (native review pending)।

1. दो अक्ष और मूलबिंदु

संख्या रेखा पर एक ही संख्या से किसी बिंदु की जगह बता देते हैं। समतल में दो संख्याएँ चाहिए, इसलिए दो लंबवत रेखाएँ ली जाती हैं (पेज 3):

आड़ी (क्षैतिज) रेखा x-अक्ष है और खड़ी (ऊर्ध्वाधर) रेखा y-अक्ष।
दोनों जहाँ कटती हैं, वह बिंदु मूलबिंदु O है; उसके निर्देशांक (0, 0) हैं (पेज 4)।
O से दाईं ओर और ऊपर की दूरियाँ धनात्मक, बाईं ओर और नीचे की दूरियाँ ऋणात्मक मानी जाती हैं (पेज 4)।
जिस तल में दोनों अक्ष हैं, उसे कार्तीय तल, निर्देशांक तल या xy-तल कहते हैं (पेज 6)।

इस अध्याय की शुरुआत इतिहास से होती है: सिंधु-सरस्वती सभ्यता के नगरों की सीधी गलियाँ और बौधायन की ज्यामिति, जिसने निर्देशांक ज्यामिति की नींव रखी (पेज 1)।

2. अक्षों पर बिंदु

x-अक्ष पर हर बिंदु (x, 0) के रूप का होता है; x धनात्मक हो तो बिंदु O के दाईं ओर, ऋणात्मक हो तो बाईं ओर।
y-अक्ष पर हर बिंदु (0, y) के रूप का होता है; y धनात्मक हो तो O के ऊपर, ऋणात्मक हो तो नीचे (पेज 4)।

याद रखने का आसान तरीका: जो निर्देशांक शून्य है, बिंदु उस अक्ष पर नहीं, दूसरे अक्ष पर है। (0, y) में x शून्य है, इसलिए बिंदु y-अक्ष पर है।

3. चार चतुर्थांश और चिह्न

दोनों अक्ष तल को चार भागों में बाँटते हैं, जिन्हें चतुर्थांश कहते हैं (पेज 6):

चतुर्थांश	x का चिह्न	y का चिह्न
प्रथम (I)	+	+
द्वितीय (II)	−	+
तृतीय (III)	−	−
चतुर्थ (IV)	+	−

उदाहरण (हमारा): (5, −3) में x धनात्मक और y ऋणात्मक है, इसलिए बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में है। जो बिंदु किसी अक्ष पर है, वह किसी भी चतुर्थांश में नहीं गिना जाता, क्योंकि अक्ष चतुर्थांशों की सीमाएँ हैं।

4. (x, y) का असली अर्थ

बिंदु P(x, y) में:

x, y-अक्ष से P की लंबवत दूरी है (x-अक्ष की दिशा में मापी गई);
y, x-अक्ष से P की लंबवत दूरी है (y-अक्ष की दिशा में मापी गई) (पेज 6)।

चिह्न बताता है कि बिंदु किस ओर है। इसी कारण क्रम मायने रखता है: यदि x ≠ y हो, तो (x, y) और (y, x) अलग-अलग बिंदु हैं; दोनों एक तभी होंगे जब x = y (पेज 7, और सारांश पेज 15)।

5. दो बिंदुओं के बीच की दूरी

अक्ष के समानांतर रेखाखंड। यदि दोनों बिंदुओं का y-निर्देशांक एक ही है, जैसे (x₁, y) और (x₂, y), तो दूरी |x₂ − x₁| है। यदि x-निर्देशांक एक ही है, जैसे (x, y₁) और (x, y₂), तो दूरी |y₂ − y₁| है (पेज 8 और 15)। यहाँ | | का अर्थ है निरपेक्ष मान: दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती।

कोई भी दो बिंदु। जब रेखाखंड किसी अक्ष के समानांतर न हो, तब x-अक्ष की दिशा का खिसकाव (x₂ − x₁) और y-अक्ष की दिशा का खिसकाव (y₂ − y₁) एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बनाते हैं। बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से (पेज 8 और 10):

दूरी = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

खिसकाव धनात्मक हों या ऋणात्मक, कोई फ़र्क नहीं पड़ता, क्योंकि वर्ग करने पर चिह्न हट जाता है (पेज 11)।

6. तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं

क्रम उलट देना। (2, 5) लिखना था और (5, 2) लिख दिया, तो बिंदु बदल गया। पहले x, फिर y।
अक्ष पर बिंदु को किसी चतुर्थांश में रख देना। (0, −4) न तृतीय में है, न चतुर्थ में; वह y-अक्ष पर है।
ऋणात्मक संख्या घटाते समय चिह्न भूलना। 3 − (−5) = 8 है, −2 नहीं। दूरी निकालते समय कोष्ठक लगाकर लिखिए।

7. हमारे 8 प्रश्न, उत्तर के साथ

पहले कॉपी पर खुद हल करें, फिर उत्तर देखें। ये प्रश्न हमारे अपने हैं, किताब के उदाहरण या अभ्यास-प्रश्न नहीं।

प्रश्न 1. किसी बिंदु का x-निर्देशांक ऋणात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक है। (a) बिंदु किस चतुर्थांश में है? (b) यदि उसके दोनों निर्देशांकों के चिह्न बदल दें, तो नया बिंदु किस चतुर्थांश में होगा?

उत्तर: (a) द्वितीय चतुर्थांश; (b) चतुर्थ चतुर्थांश। (−, +) चिह्न द्वितीय चतुर्थांश के हैं। दोनों चिह्न बदलने पर (+, −) बनता है, जो चतुर्थ चतुर्थांश का है। जैसे (−3, 2) द्वितीय में है और (3, −2) चतुर्थ में। (चतुर्थांशों के चिह्न, पेज 6।)

प्रश्न 2. क्या (4, −1) और (−1, 4) एक ही बिंदु हैं? दोनों किन चतुर्थांशों में हैं?

उत्तर: नहीं; (4, −1) चतुर्थ चतुर्थांश में और (−1, 4) द्वितीय चतुर्थांश में है। दोनों में वही दो संख्याएँ हैं, पर क्रम उलटा है। (4, −1) y-अक्ष से 4 इकाई दाईं ओर और x-अक्ष से 1 इकाई नीचे है; (−1, 4) y-अक्ष से 1 इकाई बाईं ओर और x-अक्ष से 4 इकाई ऊपर है। 4 ≠ −1, इसलिए दोनों अलग बिंदु हैं। (पेज 6 और 15।)

प्रश्न 3. इनमें से कौन-से बिंदु किसी अक्ष पर हैं, और किस अक्ष पर: (0, 7), (−8, 0), (2, 2), (0, 0)?

उत्तर:

(0, 7): x = 0, इसलिए y-अक्ष पर, O से 7 इकाई ऊपर।
(−8, 0): y = 0, इसलिए x-अक्ष पर, O से 8 इकाई बाईं ओर।
(2, 2): कोई निर्देशांक शून्य नहीं, इसलिए किसी अक्ष पर नहीं; यह प्रथम चतुर्थांश में है।
(0, 0): मूलबिंदु, जो दोनों अक्षों पर है।

(अक्षों पर बिंदु, पेज 4।)

प्रश्न 4. बिंदु (−6, −2.5) की y-अक्ष से और x-अक्ष से दूरी कितनी है? यह किस चतुर्थांश में है?

उत्तर: y-अक्ष से 6 इकाई, x-अक्ष से 2.5 इकाई; तृतीय चतुर्थांश। y-अक्ष से दूरी x-निर्देशांक का आकार है, यानी |−6| = 6। x-अक्ष से दूरी y-निर्देशांक का आकार है, यानी |−2.5| = 2.5। दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं, इसलिए बिंदु तृतीय चतुर्थांश में है। (पेज 6।)

प्रश्न 5. बिंदुओं (−2, 5) और (−2, −7) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 12 इकाई। दोनों का x-निर्देशांक −2 है, इसलिए रेखाखंड y-अक्ष के समानांतर है और दूरी |y₂ − y₁| है: |−7 − 5| = |−12| = 12। एक बिंदु x-अक्ष से 5 ऊपर है और दूसरा 7 नीचे, इसलिए 5 + 7 = 12 भी यही बताता है। (पेज 8 और 15।)

प्रश्न 6. बिंदुओं (1, −3) और (7, 5) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 10 इकाई। x की दिशा में खिसकाव 7 − 1 = 6 है और y की दिशा में 5 − (−3) = 8। दूरी = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10। (दूरी सूत्र, पेज 10।)

प्रश्न 7. एक खिलौना रोबोट बिंदु (−4, 1) से चलता है: पहले 3 इकाई दाईं ओर, फिर 4 इकाई ऊपर। (a) अब वह किस बिंदु पर है? (b) शुरू की जगह से उसकी सीधी दूरी कितनी है?

उत्तर: (a) (−1, 5); (b) 5 इकाई। दाईं ओर 3 इकाई चलने से x में 3 जुड़ता है: −4 + 3 = −1। ऊपर 4 इकाई चलने से y में 4 जुड़ता है: 1 + 4 = 5। दोनों चालें एक समकोण की दो भुजाएँ हैं, इसलिए सीधी दूरी = √(3² + 4²) = √25 = 5 इकाई। रोबोट कुल 3 + 4 = 7 इकाई चला, पर शुरू की जगह से केवल 5 इकाई दूर है। (दूरी सूत्र, पेज 10।)

प्रश्न 8. एक गाँव के नक्शे पर 1 इकाई = 100 मीटर है। स्कूल (2, 6) पर और पुस्तकालय (−4, 14) पर है। दोनों के बीच की सीधी दूरी कितने मीटर है?

उत्तर: 1000 मीटर, यानी 1 किलोमीटर। खिसकाव −4 − 2 = −6 और 14 − 6 = 8 हैं। दूरी = √((−6)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 इकाई। 10 × 100 = 1000 मीटर। −6 का ऋण चिह्न वर्ग करने पर हट जाता है। (दूरी सूत्र, पेज 10 और 11।)

8. इस अध्याय पर AI का जवाब कैसे परखें

चिह्न से चतुर्थांश जाँचिए। AI जो भी चतुर्थांश बताए, निर्देशांकों के चिह्न ऊपर की तालिका से मिलाइए।
दूरी को दूसरे तरीके से जाँचिए। यदि दोनों बिंदुओं का x या y एक ही है, तो सीधे घटाकर देखिए; सूत्र से वही उत्तर आना चाहिए।
दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती। AI का उत्तर ऋणात्मक दूरी दे, तो वह ग़लत है।

अंग्रेज़ी में इसी अध्याय की व्याख्या: Ganita Manjari Class 9 Chapter 1, coordinates explained। AI से पढ़ाई पर और: AI से पढ़ाई कैसे करें, नकल किए बिना।

कक्षा 9 गणित का अभ्यास

अगला अध्याय, हिंदी में: कक्षा 9 गणित अध्याय 2 रैखिक बहुपदों का परिचय।
ऑनलाइन, तुरंत जाँच के साथ: अभ्यास पेज पर कक्षा 9 के निर्देशांक वाले प्रश्न।
छापने लायक, उत्तर के साथ: Orienting Yourself (निर्देशांक) की वर्कशीट।
कक्षा 9 विज्ञान का पहला अध्याय, हिंदी में: कक्षा 9 विज्ञान अध्याय 1 (अन्वेषण)।
पुरानी और नई किताब के अध्यायों के नाम: Class 9 old chapter names and the 2026-27 chapters।

CMDLearn कहाँ फिट होता है

CMDLearn कक्षा 1 से 10 के लिए हिंदी, मराठी और अंग्रेज़ी में एक AI ट्यूटर बना रहा है, जो एक कदम समझाता है और बच्चे का काम जाँचता है, पर लिखना बच्चे पर छोड़ता है। यह अभी तैयार हो रहा है और अभी कोई बच्चा इसका इस्तेमाल नहीं करता। जब आज़माने को कुछ हो, तब ख़बर पाने के लिए वेटलिस्ट से जुड़ें।

स्रोत

सभी 4 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

NCERT, गणित मंजरी, कक्षा 9, भाग 1 (हिंदी माध्यम), अध्याय 1 "स्वयं को प्रवृत्त करना — निर्देशांकों का उपयोग", पेज 1 से 15: ncert.nic.in/textbook/pdf/ihmh101.pdf
NCERT, Ganita Manjari, Grade 9, Part I (अंग्रेज़ी संस्करण), Chapter 1 "Orienting Yourself: The Use of Coordinates": ncert.nic.in/textbook/pdf/iemh101.pdf

अध्याय की परिभाषाएँ, शब्द और पेज-संख्याएँ ऊपर के दस्तावेज़ों से हैं। इस पेज की सारी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और उत्तर हमारे अपने हैं; हर संख्या स्क्रिप्ट से जाँची गई है।

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